Integrér lnx / 10 ^ x?

Svar:

fejl

Forklaring:

# int (LNX) / 10 ^ XdX # kan også skrives som # int (LNX) xx10 ^ (- x) dx #.

Nu kan vi bruge formlen til integreret produkt

# Intu * v * dx = u * v-int (v * du) #, hvor # U = LNX #

Som sådan har vi # Du = (1 / x) dx # og lad # Dv = x ^ (- 10) dx # eller # V = x ^ (- 9) / - 9 #

derfor # Intu * v * dx = (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) -int (x ^ (- 9) / - 9) * dx / x #, eller

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) intx ^ (- 10) * dx #

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) x ^ (- 9) / (- 9) + c #

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) - (1/81) x ^ (- 9) + c #

= # -1/81 (x ^ (- 9)) (9lnx + 1) + c #

Svar:

Vises uendelig serie integreret for mig.

Forklaring:

Vi kan bruge formlen til integral af produkt af to funktioner #u (x) og v (x) #

# intucdotdv = ucdotv-int vcdotdu #

(regel kan simpelthen udledes ved at integrere produktreglen for differentiering)

Givet integreret #intln (x) // 10 ^ xcdotdx # kan skrives som

#intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx #

Lade # u = ln (x) og dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

fra første antagelse # du = 1 / x cdotdx #

fra den anden ligestilling # v = int10 ^ -x cdot dx = -1 / ln 10 10 ^ -x + C #

Vi får xx10 ^ (- x) cdotdx = ln (x) cdot (-1 / ln 1010 ^ -x + C) -int (-1 / ln 1010 ^ -x + C) cdot 1 / xcdot dx #

Hvor # C # er en konstant integration.

# = ln (x) cdot (-1 / ln 1010 ^ -x + C) + intl / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-intCcdot 1 / xcdot dx #

# = ln (x) cdot (-1 / ln 1010 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-ccdot ln | x | + C_2, #forenkle

# = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x) + 1 / ln 10 int10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx + C_2 #

Det reducerer til at finde integralet af # intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx #

Igen anvender ovenstående integral med delformel

Lade # U = x ^ -1 # og # dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

# du = -x ^ -2cdot dx # og vi har allerede værdien for # V #

# intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx = x ^ -1cdot (-1 / ln 1010 ^ -x + C) -int (-1 / ln 1010 ^ -x + C) cdot (-x ^ -2cdot dx) #

1. Inspektion afslører det viser sig at være at finde #int 10 ^ -xcdot x ^ -2cdot dx # og så videre.
2. Fungere #ln (x) # er kun defineret for #x> 0 #
3. Integreret ser ud til at være uendelig serieintegral.

Svar:

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln (ln_10 y) -1) #

Sæt derefter i # 10 ^ x # til #y #

# (ln 10 ^ x) (ln (ln_1010 ^ x) -In 10 ^ x #

Forklaring:

Lade # Y = 10 ^ x #

# LNY = ln10 ^ x #

# LNY = x * ln10 #

# x = lny / ln10 = ln_10y = log_10exxlog_e y #

#:. dx = log_10exx1 / yxxdy #

#int (ln (ln_10 y)) / yxxlog_10exx1 / yxxdy #

# = int (ln (ln_10 y)) / y ^ 2xxlog_10exxdy; u = ln (ln_10 y) = ln (l / ln10 * lny), dv = 1 / y #

# 1 = 1 / (ln y / ln10) * 1 / (yln10) = (ln10 / lny) (1 / (yln10)) = 1 / (ylny)

# V = LNY #

# uv-intvdu -> (ln (ln_10 y)) lny-intlny * 1 / (ylny) #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - int1 / y #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln_10 y-1) #

Sæt derefter i # 10 ^ x # til #y #

# ln 10 ^ x (ln (ln_10 10 ^ x) -In 10 ^ x #

#BEVIS:#

# d / dy ((lny) (ln (ln_10 y) -1)) #

# f = lny, g = ln (ln_10 y) -1) #

# f '= 1 / y, g' = (1 / ln10y) (1 / (yln10)) #

# Fg '+ gf' #---> produktregel

# lny * (1 / ln10y) (1 / (yln10)) + (ln (ln10y) -1) * l / y #

(ln / ln10)) + (ln (ln10y) -1) * 1 / y #

# lny (ln10 / lny) (l / (yln10)) + (ln (ln10y) -1) * l / y #

# 1 / y + (ln (ln_10 y) -1) / y #

# ((L + ln (ln_10 y) -1)) / y #

# (Ln (ln_10y)) / y #

#ln (x) / 10 ^ x #---># ln_10 y = x # ovenfra