Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Svar:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Forklaring:

vi søger:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Når vi vurderer en grænse, ser vi på opførelsen af funktionen "nær" punktet, ikke nødvendigvis funktionens funktion "ved" det pågældende punkt, således som #x rarr 0 #på intet tidspunkt skal vi overveje, hvad der sker på # X = 0 #, Således får vi det trivielle resultat:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

For tydeligvis en graf af funktionen til at visualisere adfærd omkring # X = 0 #

graf {sin (1 / x) / synd (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Det bør gøres klart, at funktionen # Y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # er udefineret på # X = 0 #

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Definitionerne af grænsen for en funktion, jeg bruger, svarer til:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # hvis og kun for For hver positiv # Epsilon #, der er en positiv # Delta # sådan at for hver #x#, hvis # 0 <abs (x-a) <delta # derefter #abs (f (x) - L) <epsilon #

På grund af betydningen af "#abs (f (x) - L) <epsilon #", dette kræver det for alle #x# med # 0 <abs (x-a) <delta #, #F (x) # er defineret.

Det er for det krævede # Delta #, alt af # (A-delta, a + delta) # undtagen muligvis #en#ligger i domænet af # F #.

Alt dette får os:

#lim_ (xrarra) f (x) # eksisterer kun hvis # F # er defineret i et åbent interval indeholdende #en#, undtagen måske på #en#.

(# F # skal defineres i nogle slettede åbne kvarterer af #en#)

Derfor, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # eksisterer ikke.

Et næsten trivielt eksempel

#f (x) = 1 # til #x# en irrationel virkelighed (udefineret for rationale)

#lim_ (xrarr0) f (x) # eksisterer ikke.