Hvad er værdien af? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Svar:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Forklaring:

Vi søger:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Både tælleren og den2 nævneren #rarr 0 # som #x rarr 0 #. dermed grænsen # L # (hvis den findes) har en ubestemt form #0/0#, og derfor kan vi anvende L'Hôpital's regel for at få:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

(d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Brug nu den grundlæggende teorem af calculus:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

Og,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

Også:

# L = lim_ (x rarr 0) synd (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Igen er dette en ubestemt form #0/0#, og derfor kan vi anvende L'Hôpital's regel igen for at få:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

(2 xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Som vi kan evaluere:

# L = (0) / (2-0) = 0 #