Vis, at stien, der spores af krydsningspunktet mellem tre gensidige vinkelrette tangentplaner til ellipsoidaksen ^ 2 + med ^ 2 + cz ^ 2 = 1 er en kugle med samme center som ellipsoidets.

Svar:

Se nedenunder.

Ringer # E-> f (x, y, z) = ax ^ 2 + ved ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #

Hvis #p_i = (x_i, y_i, z_i) i E # derefter

# Ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # er et plan tangent til # E # fordi har et fælles punkt og #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # er normalt til # E #

Lade # Pi-> alpha x + beta y + gamma z = delta # være et generelt plan tangent til # E # derefter

# {(x_i = alfa / (a delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)):

men

# Ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # så

# Alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + y ^ 2 / c = delta ^ 2 # og den generiske tangentplanligning er

#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c) #

Nu givet tre ortogonale fly

# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #

og ringer #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # og gør

#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # vi kan vælge

#V cdot V ^ T = I_3 #

og som en konsekvens heraf

# V ^ Tcdot V = I_3 #

så har vi også

(sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alfa_i beta_i = 0), (sum_i alfa_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0):} #

Nu tilføjer #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # vi har

(xi sum (alfa_i beta_i) + xzsum (alfa_i gamma_i) + sum (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2i

og endelig

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #

men #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

så

# X ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

hvilken vej er sporet af krydsningspunktet mellem tre gensidige vinkelrette tangentplaner til ellipsoiden.

Vedlagt et plot for ellipsoiden

# X ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #