Spørgsmål # dbd28

Svar:

Definer afstanden mellem grafen og punktet som en funktion og find minimum.

Pointen er #(3.5,1.871)#

Forklaring:

For at vide, hvor tæt de er, skal du kende afstanden. Den euklidiske afstand er:

#sqrt (Ax ^ 2 + Ay ^ 2) #

hvor Δx og Δy er forskellene mellem de 2 punkter. For at være det nærmeste punkt skal dette punkt have den mindste afstand. Derfor sætter vi:

#F (x) = sqrt ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#F (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) #

#F (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#F (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x) #

#F (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) #

Vi skal nu finde mindst denne funktion:

#F '(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

#F '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

Nævneren er altid positiv som en kvadratrodsfunktion. Tælleren er positiv, når:

# 2x-7> 0 #

#x> 7/2 #

#x> 3.5 #

Så funktionen er positiv, når #x> 3.5 #. På samme måde kan det bevises, at det er negativt, når #X <3,5 # Derfor fungerer der #F (x) # har et minimum på # X = 3,5 #, hvilket betyder, at afstanden er mindst på # X = 3,5 # Y koordinaten for # Y = x ^ (1/2) # er:

# Y = 3,5 ^ (1/2) = sqrt (3,5) = 1,871 #

Endelig er det punkt, hvor mindst afstanden fra (4,0) observeres,:

#(3.5,1.871)#