Hvad er afstanden mellem (0, 0, 8) og (9, 2, 0)?

Svar:

Afstanden er #sqrt (149) #

Forklaring:

Afstanden mellem to punkter

# (x_1, y_1, z_1) #

og

# (x_2, y_2, z_2) #

i # RR ^ 3 # (tre dimensioner) er givet af

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Ved at anvende det på problemet ved hånden får vi afstanden mellem #(0, 0, 8)# og #(9, 2, 0)# som

# "distance" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Følgende er en forklaring på, hvor afstandsformlen kommer fra, og er ikke nødvendig for at forstå ovenstående løsning.

Afstandsformlen angivet ovenfor ser mistænkeligt ud som afstandsformlen i # RR ^ 2 # (to dimensioner):

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

der kommer fra en simpel anvendelse af den pythagoriske sætning ved at tegne en ret trekant mellem to punkter med benene parallelt med #x# og # Y # akser.

Det viser sig, at # RR ^ 3 # version kan udledes på en lignende måde. Hvis vi (højst) bruger 3 linjer til at forbinde to punkter, går parallelt med #x#, # Y #, og # Z # akser, vi får en kasse med punkterne som modsatte hjørner. Så lad os regne ud, hvordan man beregner afstanden over en kasse diagonal.

Vi forsøger at finde ud af længden af den røde linje #COLOR (rød) (AD) #

Da dette er hypotenuse af trekanten # ABD #, fra den pythagoriske sætning:

# (farve (rød) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (farve (blå) (BC)) ^ 2 #

# => farve (rød) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (farve (blå) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Desværre har vi ikke længden af #COLOR (blå) (BD) # som en given. For at få det, må vi igen anvende Pythagoras sætning, denne gang til trekanten # BCD #.

# (farve (blå) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Da vi kun har brug for pladsen #COLOR (blå) (BD) #, vi kan nu erstatte # ("Ii") # ind i #("jeg")#:

#color (rød) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Endelig, hvis vi har #EN# på # (x_1, y_1, z_1) # og # D # på # (x_2, y_2, z_2) #, så har vi længderne

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Ved at erstatte disse i ovenstående giver vi det ønskede resultat.

Som en ekstra note, mens vi kun kan nemt lave geometriske beviser i op til 3 dimensioner, har matematikere generaliseret afstand i # RR ^ n # (# N # dimensioner). Afstanden mellem

# (x_1, x_2, …, x_n) # og # (y_1, y_2, …, y_n) # er defineret som

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

som matcher mønsteret fra # RR ^ 2 # og # RR ^ 3 #.