Hvordan løses med integration?

Svar:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Område" = 117/4 #

Forklaring:

Q er x-afsnit af linjen # 2x + y = 15 #

For at finde dette punkt, lad # Y = 0 #

# 2x = 15 #

# X = 15/2 #

Så # Q = (15 / 2,0) #

P er et punkt for aflytning mellem kurven og linjen.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Sub #(1)# ind i #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# X ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # eller # X = 3 #

Fra grafen er x-koordinaten for P positiv, så vi kan afvise # x = -5 #

# X = 3 #

# Y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

graf {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17,06, 18,99, -1,69, 16,33}

Nu for området

For at finde det samlede areal i denne region kan vi finde to områder og tilføje dem sammen.

Disse vil være området under # Y = x ^ 2 # fra 0 til 3, og området under linjen fra 3 til 15/2.

# "Område under kurve" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Vi kan træne linjens område gennem integration, men det er lettere at behandle det som en trekant.

# "Område under linje" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "Samlet område af skyggefuld region" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Svar:

Til 3 & 4

Tom er færdig 10

Forklaring:

3

# int_0 ^ 5f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Svar:

Se nedenunder:

Advarsel: Langt svar!

Forklaring:

Til (3):

Brug af ejendommen:

# int_a ^ bf (x) dx = int_a ^ cf (x) dx + int_c ^ bf (x) dx #

Derfor:

# int_0 ^ 5f (x) dx = int_0 ^ 1f (x) dx + int_1 ^ 5f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Til (4):

(samme ting)

# int_a ^ bf (x) dx = int_a ^ cf (x) dx + int_c ^ bf (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# X = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Men vi skal bytte grænserne for integralet, så:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Så:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

For 10 (a):

Vi har to funktioner, der skærer på # P #, så på # P #:

# X ^ 2 = -2x + 15 #

(Jeg har ændret liniefunktionen til hældningsaflytningsform)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3) = 0 #

Så # X = 3 # som vi til højre for # Y # akse, så #x> 0 #.

(indtastning # X = 3 # ind i nogen af funktionerne)

# Y = -2x + 15 #

# Y = -2 (3) + 15 #

# Y = 15-6 = 9 #

Så koordinaten af # P # er #(3,9)#

Til # Q #, linjen # Y = -2x + 15 # skærer # Y #-axis, så # Y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# X = (15/2) = 7,5 #

Så # Q # er placeret på #(7.5, 0)#

For 10 (b).

Jeg vil konstruere to integraler for at finde området. Jeg vil løse integralerne separat.

Området er:

# int_a ^ bf (x) dx = int_a ^ cf (x) dx + int_c ^ bf (x) dx #

# A = int_O ^ Qf (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Løs først integreret)

(x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(erstat grænserne i det integrerede udtryk, husk:

Øvre nedre grænse at finde værdien af integralet)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(løse andet integreret)

dx = (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7,5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x

(erstatningsgrænser: Øvre-nedre)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

(xx) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Qf (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Qf (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #