Hvordan finder du grænsen for (ln x) ^ (1 / x) som x nærmer sig uendelighed?

Svar:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Forklaring:

Vi starter med et ganske fælles trick, når vi beskæftiger os med variable eksponenter. Vi kan tage den naturlige log af noget og derefter hæve den som eksponenten af den eksponentielle funktion uden at ændre dens værdi, da disse er inverse operationer - men det giver os mulighed for at anvende reglerne til logfiler på en fordelagtig måde.

(ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x)))

Brug af eksponentregel for logfiler:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Bemærk, at det er eksponenten, der varierer som # Xrarroo # så vi kan fokusere på det og flytte den eksponentielle funktion udenfor:

# = Exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Hvis man ser på opførelsen af den naturlige logfunktion, vil man bemærke, at når x har tendens til uendelighed, har funktionens værdi også tendens til at være uendelig, omend meget langsomt. Når vi tager #ln (ln (x)) # vi har en variabel inde i log-funktionen, der har tendens til uendelig meget langsomt, hvilket betyder at vi har en overordnet funktion, der har tendens til at være uendelig, ekstremt langsomt. Grafen nedenfor gælder kun op til # X = 1000 # men det viser den ekstremt langsomme vækst i #ln (ln (x)) # selv i forhold til den langsomme vækst af #ln (x) #.

Fra denne adfærd kan vi udlede det #x# vil udvise meget hurtigere asymptotisk vækst, og at eksponentets grænse derfor vil være nul. #color (blue) ("Dette betyder at den samlede grænse = 1.") #

Vi kan også tackle dette punkt med L'hopital's regel. Vi har brug for grænsen for at være i ubestemt form, dvs. # 0/0 eller oo / oo # så vi kontrollerer, at dette er tilfældet:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Dette er faktisk tilfældet, at denne grænse bliver:

# = Exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

At skelne #y = ln (ln (x)) # genkende vi har #Y (u (x)) # og brug kæden regel

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) betyder (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) betyder (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Derivat af #x# er #1#. Grænsen bliver:

# = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))))

Vi har adresseret, at begge funktioner på nævneren har tendens til uendelig, så vi har

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #