Hvad er standardformen for ligningen af en cirkel med centrum, der ligger i punkt (5,8), og som passerer gennem punktet (2,5)?

Svar:

# (x - 5) ^ 2 + (y - 8) ^ 2 = 18 #

Forklaring:

Standardformular for en cirkel er # (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2 #

hvor (a, b) er midten af cirklen og r = radius.

I dette spørgsmål er centret kendt, men r er det ikke. For at finde r, afstanden fra centrum til punktet (2, 5) er radius. Ved brug af

Afstandsformlen giver os mulighed for at finde faktisk # r ^ 2 #

# r ^ 2 = (x_2 - x_1) ^ 2 + (y_2 - y_1) ^ 2 #

bruger nu (2, 5) = # (x_2, y_2) og (5, 8) = (x_1, y_1) #

derefter # (5 - 2)^2 + (8 - 5)^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 #

cirkelligning: # (x - 5) ^ 2 + (y - 8) ^ 2 = 18 #

Svar:

Jeg fandt: # X ^ 2 + y ^ 2-10x-16y + 71 = 0 #

Forklaring:

Afstanden # D # mellem midten og det givne punkt vil være radius # R #.

Vi kan evaluere det ved hjælp af:

# D = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Så:

# R = d = sqrt ((2-5) ^ 2 + (5-8) ^ 2) = sqrt (9 + 9) = 3sqrt (2) #

Nu kan du bruge den generelle form af ligningen af en cirkel med center på # (H, k) # og radius # R #:

# (X-h) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^ 2 #

Og:

# (X-5) ^ 2 + (y-8) ^ 2 = (3sqrt (2)) ^ 2 #

# X ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-16y + 64 = 18 #

# X ^ 2 + y ^ 2-10x-16y + 71 = 0 #