(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Lad os gøre det ??

Svar:

#a = 1, b = 1 #

Forklaring:

Løse den traditionelle måde

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Nu løses for #en#

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # men #en# skal være rigtig, så betingelsen er

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # eller # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

nu at erstatte og løse for #en#

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # og løsningen er

#a = 1, b = 1 #

En anden måde at gøre det samme

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

men

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1)

og afsluttende

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Svar:

D. Der er nøjagtigt et løsningspar # (a, b) = (1, 1) #

Forklaring:

Givet:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Bemærk at vi kan gøre dette til et godt symmetrisk homogent problem ved at generalisere til:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

sæt derefter # c = 1 # i slutningen.

Udvidelse af begge sider af dette generelle problem har vi:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Ved at trække venstre side fra begge sider får vi:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (hvid) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2ca + a ^ 2 #

#color (hvid) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

For reelle værdier af #en#, # B # og # C #, dette kan kun holde hvis alle # (A-b) #, # (B-c) # og # (C-a) # er nul og dermed:

#a = b = c #

Så sætter # c = 1 # Vi finder den eneste løsning på det oprindelige problem, nemlig # (a, b) = (1, 1) #