Lad A (x_a, y_a) og B (x_b, y_b) være to punkter i planet og lad P (x, y) være det punkt, der deler stang (AB) i forholdet k: 1, hvor k> 0. Vis at x = (x_a + kx_b) / (1 + k) og y = (y_a + ky_b) / (1 + k)?

Svar:

Se bevis nedenfor

Forklaring:

Lad os begynde med at beregne #vec (AB) # og #vec (AP) #

Vi starter med #x#

#vec (AB) / vec (AP) = (k + 1) / k #

# (X_b-x_a) / (x-x_a) = (k + 1) / k #

Multiplicere og omlægge

# (X_b-x_a) (k) = (x-x_a) (k + 1) #

Løsning for #x#

# (K + 1) x = kx_b-kx_a + kx_a + x_a #

# (K + 1) x = x_a + kx_b #

# X = (x_a + kx_b) / (k + 1) #

Tilsvarende med # Y #

# (Y_b-y_a) / (y-y_a) = (k + 1) / k #

# Ky_b-ky_a = y (k + 1) - (k + 1) y_a #

# (K + 1) y = ky_b-ky_a + ky_a + y_a #

# Y = (y_a + ky_b) / (k + 1) #

Lad bar (AB) skæres i lige og ulige segmenter ved C og D Vis at rektanglet indeholdt af stang (AD) xxDB sammen med kvadratet på cd er lig med kvadratet på CB?

I figuren er C midtpunkt for AB. Så AC = BC Nu er rektangel indeholdt i stang (AD) og stang (DB) sammen med firkantet bar (CD) = bar (AD) xxbar (DB) + bar (CD) ^ 2 = CD)) xx (bar (BC) -bar (CD)) + bar (CD) ^ 2 = (bar (BC) + bar (CD)) xx ) ^ 2 = bar (BC) ^ 2-annuller (bar (CD) ^ 2) + annuller (bar (CD) ^ 2) = stang (BC) ^ 2 -> "Kvadrat på CB" Proved

Lad P (x_1, y_1) være et punkt og lad l være linjen med ligning ax + ved + c = 0.Vis afstanden d fra P-> l er givet af: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Find afstanden d af punktet P (6,7) fra linjen l med ligning 3x + 4y = 11?

D = 7 Lad l-> a x + b y + c = 0 og p_1 = (x_1, y_1) et punkt ikke på l. Antag at b ne 0 og kalder d ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 efter at have erstattet y = - (a x + c) / b til d ^ 2 har vi d ^ 2 = ( x - x_1) ^ 2 + ((c + ax) / b + y_1) ^ 2. Det næste trin er at finde d ^ 2 minimumet for x, så vi finder x sådan, at d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + ax) / b + y_1 )) / b = 0. Dette forekommer for x = (b ^ 2 x_1 - ab y_1-ac) / (a ^ 2 + b ^ 2) Nu erstatter denne værdi i d ^ 2 vi d ^ 2 = + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) så d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) Nu giv

Start med DeltaOAU, med bar (OA) = a, forlæng søjle (OU) på en sådan måde, at bar (UB) = b, med B på stang (OU). Konstruer en parallel linje til bar (UA) skærende stang (OA) ved C. Vis det, bar (AC) = ab?

Se forklaring. Tegn en linje UD, parallelt med AC, som vist på figuren. => UD = AC DeltaOAU og DeltaUDB er ens, => (UD) / (UB) = (OA) / (OU) => (UD) / b = a / 1 => UD = ab => AC = ab " (bevist)"