Hvordan finder du derivatet af ln ((x + 1) / (x-1))?

Svar:

Forenkle ved hjælp af naturlige logegenskaber, tag derivatet, og tilføj nogle fraktioner for at få # D / dxln ((x + 1) / (x-1)) = - 2 / (x ^ 2-1) #

Forklaring:

Det hjælper med at bruge naturlige logegenskaber til at forenkle #ln ((x + 1) / (x-1)) # ind i noget lidt mindre kompliceret. Vi kan bruge ejendommen #ln (a / b) = lna-LNB # for at ændre dette udtryk til:

#ln (x + 1) -ln (x-1) #

At tage derivatet af dette vil være meget lettere nu. Summaneglen siger, at vi kan bryde dette op i to dele:

# D / dxln (x + 1) -d / dxln (x-1) #

Vi kender derivatet af # LNX = 1 / x #, så derivatet af #ln (x + 1) = 1 / (x + 1) # og derivatet af #ln (x-1) = 1 / (x-1) #:

# D / dxln (x + 1) -d / dxln (x-1) = 1 / (x + 1) -1 / (x-1) #

Subtrahering af fraktionerne giver:

# (X-1) / ((x + 1) (x-1)) - (x + 1) / ((x-1) (x + 1)) #

# = ((X-1) - (x + 1)) / (x ^ 2-1) #

# = (X-1-x-1) / (x ^ 2-1) #

# = - 2 / (x ^ 2-1) #