To hjørner af en enslig trekant er på (7, 5) og (3, 6). Hvis trekantens område er 6, hvad er længderne på trekantens sider?

Svar:

Der er et par måder at gøre det på; Vejen med de færreste trin er forklaret nedenfor.

Spørgsmålet er tvetydigt om, hvilke to sider er ens. I denne forklaring antager vi, at de to sider af samme længde er dem, der endnu ikke findes.

Forklaring:

En sidelængde kan vi regne ud lige fra de koordinater, vi har fået.

# A = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# A = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# A = sqrt (16 + 1) #

# A = sqrt17 #

Så kan vi bruge formlen for et trekants område med hensyn til dets sidelængder at finde ud af # B # og # C #.

# A = sqrt (s (s-a) (S-B) (s-c)) #

hvor # s = (a + b + c) / 2 # (kaldet semiperimeter)

Siden # A = sqrt (17) # er kendt, og vi antager # b = c #, vi har

# s = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#COLOR (rød) (e = sqrt17 / 2 + b) #

Erstatter dette i områdets formel ovenfor, såvel som # A = 6 # og # A = sqrt17 #, vi får

# 6 = sqrt ((farve (rød) (sqrt (17) / 2 + b)) (farve (rød) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (farve (rød) (sqrt (17) / 2 + b) -b) (farve (rød) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

Som nr.144 / 17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# b = sqrt (865/68) = c #

Vores løsning er # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Fodnote 1:

Det er muligt at have en trekant med to sider af længden #sqrt (17) # og område # A = 6 # (det vil sige at have # A = b = sqrt (17) # i stedet for # b = c #). Dette vil føre til en anden løsning.

Fodnote 2:

Vi kunne også have løst dette spørgsmål ved at finde koordinaterne til det tredje punkt. Dette ville have medført:

a) at finde længden af den kendte side #en#

b) at finde hældningen # M # mellem de to givne punkter

c) at finde midtpunktet # (X_1, y_1) # mellem de to givne punkter

d) at finde "højden" # H # af denne trekant ved hjælp af # A = 1/2 ah #

e) Find højden af højden ved hjælp af #m_h = (- 1) / m #

f) ved hjælp af både hældningspunkt formel # M_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # og højdeformlen # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # at løse et af koordinaterne til 3. punktet # (X_2, y_2) #

g) efter at have kombineret disse to ligninger, forenkler udbytterne

# X_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) tilslutte de kendte værdier for # H #, # M_h #, og # X_1 # at få # X_2 #

i) ved at bruge en af de to ligninger i (f) for at finde # Y_2 #

j) Brug afstandsformlen til at finde de resterende (identiske) sidelængder

# b = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Du kan se, hvorfor den første metode er nemmere.