To hjørner af en enslig trekant er på (7, 2) og (3, 6). Hvis trekantens område er 6, hvad er længderne på trekantens sider?

Svar:

Længderne af sider er: # A = 5 / 2sqrt2 = 3,5355339 # og # B = 5 / 2sqrt2 = 3,5355339 # og # C = 4sqrt2 = 5,6568542 #

Forklaring:

Først lader vi #C (x, y) # være det ukendte tredje hjørne af trekanten.

Lad også hjørner #A (7, 2) # og #B (3, 6) #

Vi sætter ligningen ved hjælp af sider med afstandsformel

# A = b #

#sqrt ((x_c-3) ^ 2 + (y_c-6) ^ 2) = sqrt ((x_c-7) ^ 2 + (y_c-2) ^ 2) #

forenkle at opnå

# x_c-y_c = 1 "" "#første ligning

Brug nu matrixformlen for Område:

# Area = 1/2 ((x_a, x_b, x_c, x_a), (y_a, y_b, y_c, y_a)) = #

# = 1/2 (x_ay_b + x_by_c + x_cy_a-x_by_a-x_cy_b-x_ay_c) #

# Area = 1/2 ((7,3, x_c, 7), (2,6, y_c, 2)) = #

# Area = 1/2 * (42 + 3y_c + 2x_c-6-6x_c-7y_c) #

# Area = 6 # dette er givet

Vi har nu ligningen

# 6 = 1/2 * (42 + 3y_c + 2x_c-6-6x_c-7y_c) #

# 12 = -4x_c-4y_c + 36 #

# x_c + y_c = 6 "" "#anden ligning

Løsning af systemet samtidig

# X_c-y_c = 1 #

# X_c + y_c = 6 #

# X_c = 7/2 # og # Y_c = 5/2 #

Vi kan nu løse længden af siderne #en# og # B #

# A = b = sqrt ((x_b-x_c) ^ 2 + (y_b-y_c) ^ 2) #

# A = b = sqrt ((3-7 / 2) ^ 2 + (6-5 / 2) ^ 2) #

# a = b = 5 / 2sqrt (2) = 3.5355339 "" "#enheder

beregne side # C #:

# c = sqrt ((x_a-x_b) ^ 2 + (y_a-y_b) ^ 2) #

# c = sqrt ((7-3) ^ 2 + (2-6) ^ 2) #

# c = sqrt (2 (16)) #

# C = 4sqrt2 = 5,6568542 #