X (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x) x (P (x) Q (x)) xP (x) xQ ). Kan du hjælpe mig med den første erklæring?

For at forstå disse udsagn skal vi først forstå den notation, der anvendes.

• # AA # - for alle - Dette symbol indebærer, at noget gælder for hvert eksempel inden for et sæt. Så når vi tilføjer en variabel #x#, # AAX # betyder, at noget erklæring gælder for enhver mulig værdi eller vare, vi kunne erstatte #x#.

• #P (x), Q (x) # - forslag - Disse er logiske forslag vedrørende #x#, det vil sige, de repræsenterer udtalelser om #x# som enten er sande eller falske for nogen bestemt #x#.

• # # - og - Dette symbol giver mulighed for kombinationen af flere propositioner. Det kombinerede resultat er sandt, når begge propositioner returnerer sande og falske ellers.

• # # - eller - Dette symbol tillader også kombinationen af flere propositioner. Det kombinerede resultat er falsk, når begge propositioner returnerer falsk og sandt ellers.

• # # - hvis og kun hvis - Dette symbol tillader også kombinationen af flere propositioner. Det kombinerede resultat er sandt, når begge propositioner returnerer den samme sandhedsværdi for alle #x#, og falsk ellers.

Med dette kan vi nu oversætte udsagnene. Den første sætning, der direkte er formuleret, lyder som "For alle x, P af x og Q af x if og kun hvis for alle x, P of x og for all x, Q of x."

Nogle mindre tilføjelser og modifikationer gør det lidt mere forståeligt.

"For alle x, P og Q gælder for x hvis og kun hvis P er sandt for alle x og Q er sandt for alle x."

Denne erklæring er en tautologi, det vil sige det er sandt, uanset hvad vi erstatter for P eller Q. Vi kan vise dette ved at demonstrere, at propositionen forud for indebærer den efter den og omvendt.

Fra den forudgående erklæring har vi det for alle #x#, #P (x) Q (x) # er sandt. Ved vores definition ovenfor betyder det for hver #x#, #P (x) # er sandt og #Q (x) # er sandt. Dette indebærer det for enhver #x#, #P (x) # er sandt og for nogen #x#, #Q (x) # er sandt, hvilket er den sætning, der vises efter.

Hvis vi starter fra erklæringen efter, så ved vi det for nogen #x#, #P (x) # er sandt og for nogen #x#, #Q (x) # er sandt. Så for alle #x#, #P (x) # og #Q (x) # er begge sande, betyder for alle #x#, #P (x) Q (x) # er sandt. Dette viser at den første erklæring altid er sandt.

Den anden erklæring er falsk. Uden at gå gennem hele processen som ovenfor, kan vi simpelthen vise, at de to propositioner på hver side af ikke altid har den samme sandhedsværdi. Antag for eksempel det for halvdelen af alt muligt #x#, #P (x) # er sandt og #Q (x) # er falsk, og for den anden halvdel #Q (x) # er sandt og #P (x) # er falsk.

I dette tilfælde, som for alle #x#, enten #P (x) # eller #Q (x) # er sandt, forslaget #AAx (P (x) Q (x)) # er sandt (se beskrivelserne af ovenfor). Men fordi der er værdier for #x# for hvilket #P (x) # er falsk, forslaget #AAxP (x) # er falsk. Tilsvarende #AAxQ (x) # er også falsk, mening #AAxP (x) AAxQ (x) # er falsk.

Da de to propositioner har forskellige sandhedsværdier, garanterer sandheden af en ikke sandheden af den anden, og dermed forbinder de med resulterer i et nyt proposition, der er falsk.