To tal har en forskel på 20. Hvordan finder du tallene, hvis summen af deres firkanter er et minimum?

Svar:

#-10,10#

Forklaring:

To numre # N, m # sådan at # N-m = 20 #

Summen af deres kvadrater er givet af

# S = n ^ 2 + mA2 # men #m = n-20 # så

# S = n ^ 2 + (n-20) ^ 2 = 2n ^ 2-40n + 400 #

Som vi kan se, #S (n) # er en parabol med et minimum på

# d / (dn) S (n_0) = 4n_0-40 = 0 # eller på # n_0 = 10 #

Tallene er

# n = 10, m = n-20 = -10 #

Svar:

10 og -10

Løst uden beregning.

Forklaring:

I Cesareos svar # D / (dn) S (n_0) # er Calculus. Lad os se om vi kan løse dette uden beregning.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (magenta) ("Lad det første tal være" x) #

Lad det andet nummer være # x + 20 #

Sæt # "" y = x ^ 2 + (x + 20) ^ 2 #

# Y = x ^ 2 + x ^ 2 + 40x + 400 #

# y = 2x ^ 2 + 40x + 400 larr "" y "er summen af deres firkanter" # #

#color (rød) ("Så vi skal finde værdien af x, der giver minimumsværdien") # #color (rød) ("af" y) #

Denne ligning er en kvadratisk og som # X ^ 2 # Termen er positiv, da den er generel form er af form # Uu #. Spidsen er således minimumsværdien for # Y #

Skriv som # Y = 2 (x ^ 2 + 20x) + 400 #

Det følgende er en del af processen for at fuldføre pladsen.

Overvej de 20 fra # 20x #

#color (magenta) ("Så er det første tal:" x _ ("vertex") = (- 1/2) xx20 = -10) #

Således er det første nummer # x = -10 #

Det andet nummer er # "" x + 20 = -10 + 20 = 10 #

# "" farve (grøn) (bar (ul (| farve (hvid) (2/2) "De to tal er: -10 og 10" |))) #)