Hvad er den største cylinder med radius, r og højde h, der kan passe i radius, R?

Svar:

Det maksimale volumen af cylinderen findes, hvis vi vælger

# r = sqrt (2/3) R #, og #h = (2R) / sqrt (3) #

Dette valg fører til en maksimal cylindervolumen på:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Forklaring:

``

Forestil dig et tværsnit gennem midten af cylinderen, og lad cylinderen have højde # H #, og volumen # V #, så har vi

# H # og # R # kan varieres og # R # er en konstant. Cylinderens volumen er angivet ved standardformlen:

# V = pir ^ 2h #

Kuglens radius, # R # er hypotenuse af trekanten med sider # R # og # 1 / 2h #, så vi bruger Pythagoras:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Vi kan erstatte dette i vores volumenligning for at få:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Vi har nu volumenet, # V # som en funktion af en enkelt variabel # H #, som vi søger at maksimere WRT # H # så differentierende wrt # H # giver:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Mindst eller maksimalt # (DV) / (dh) = 0 # så:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (selvfølgelig vil vi have te + ve root)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

Med denne værdi af # H # vi får:

# ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Vi bør kontrollere, at denne værdi fører til et maksimum (snarere end et maksimum) volumen. Vi gør dette ved at se på det andet derivat:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

Og som #h> 0 # vi konkluderer det # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # og at det kritiske punkt identificeret fører til et maksimum som søgt.

Derfor er cylinderens maksimale volumen fundet, hvis vi vælger

# r = sqrt (2/3) R #, og #h = (2R) / sqrt (3) #

Med dette valg får vi det maksimale volumen som;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3)))

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Og selvfølgelig er sfærens rumfang givet af:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Dette er et meget berømt problem, der blev studeret af græske matematikere, før Calculus blev opdaget. En interessant egenskab er forholdet mellem volumenet af cylinderen og kuglens volumen:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Med andre ord er volumenforholdet helt uafhængigt af # R #, # R # eller # H # hvilket er et ganske forbløffende resultat!