Lad f: Rise defineret fra R til R. find opløsningen af f (x) = f ^ -1 (x)?

Svar:

# f (x) = x #

Forklaring:

Vi søger en funktion #f: RR rarr RR # sådan løsning #F (x) = f ^ (- 1) (x) #

Det er vi søger en funktion, der er dens egen invers. En åbenbar sådan funktion er den trivielle løsning:

# f (x) = x #

En mere grundig analyse af problemet er imidlertid af betydelig kompleksitet som udforsket af Ng Wee Leng og Ho Foo Him som offentliggjort i Journal of the Association of Mathematics Teachers.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Svar:

Tjek nedenfor.

Forklaring:

De fælles punkter mellem # C_f # og #C_ (f ^ (- 1)) # hvis de eksisterer, er de ikke altid i bisectoren # Y = x #. Her er et eksempel på en sådan funktion: #F (x) = 1-x ^ 2 # #COLOR (hvid) (a) #, #x##i## 0, + oo) #

graf {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7,02, 7,03, -5,026, 1,994}

De er dog kun i bisectoren og kun hvis # F # er # # stigende.

Hvis # F # stiger strenge da #F (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># #F (x) = x #

Hvis # F # er ikke strengt stigende de fælles punkter findes ved at løse ligningssystemet

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) ""):} # #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (y) ""):} # #<=>…#

Svar:

#F ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> X = 1 #

Forklaring:

#F (x) = x ^ 3 + x-1 # #COLOR (hvid) (aa) #, #x##i## RR #

#F '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #COLOR (hvid) (aa) #, # AA ##x##i## RR #

så # F # er # # i # RR #. Som en strengt monoton funktion er det også "#1-1#"og som en til en funktion har den en omvendt.

Vi skal løse ligningen #F ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (F) f (x) = x # #<=>#

# X ^ 3 + x-1 = x # #<=># # X ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (X-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (X ^ 2 + x + 1> 0) #

# X = 1 #