Område af e ^ x / ([x] +1), x> 0 og hvor [x] angiver det største heltal?

Svar:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Forklaring:

jeg går ud fra #x# er det mindste heltal større end #x#. I det følgende svar bruger vi notationen #ceil (x) #, kaldet loftfunktionen.

Lade #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. Siden #x# er strengt større end #0#, det betyder at domænet for # F # er # (0, + oo) #.

Som #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # og siden # E ^ x # er altid positiv, # F # er altid strengt større end #0# i sit domæne. Det er vigtigt at bemærke det # F # er ikke injicerende og er heller ikke kontinuerlig ved de naturlige tal. For at bevise dette, lad # N # være et naturligt nummer:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Fordi #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Tilsvarende #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Da de venstre og højre sidede grænser ikke er ens, # F # er ikke kontinuert på heltalene. Også, #L> R # for alle #n i NN #.

Som # F # er stigende i intervaller afgrænset af de positive heltal, vil de "mindste værdier" per interval være som #x# nærmer sig den nederste grænse fra højre.

Derfor er minimumsværdien af # F # det vil blive

(X-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Dette er den nederste grænse af området # F #.

Selv om det ikke er rigtigt korrekt at sige det # F # er stigende, er det i den forstand asymptotisk nærmer den uendelighed - som vist nedenfor:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (loft (x) +1) #

Som #ceilx> = x #, findes der a #delta <1 # sådan at # Ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Lade #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1)

# E ^ u # vokser eksponentielt mens # U # gør det lineært, hvilket betyder det

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Derfor er rækken af # F # er

# "Range" = (1/2, oo) #

Intervallet er åbent til venstre fordi #http: // 2 # er stadig #F (0) #, og som #x# tilgange #0^+#, #F (x) # kun tilgange #http: // 2 #; det er aldrig virkelig lige.