Hvordan skriver du delingsfraktionens dekomponering af det rationelle udtryk (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)?

Svar:

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #

Forklaring:

At skrive det givne udtryk i partielle fraktioner, vi tænker på at faktorisere nævneren.

Lad os faktorisere nævneren

#COLOR (blå) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Farve (blå) (x ^ 2 (x-2) - (x-2)) #

# = Farve (blå) ((x-2) (x ^ 2-1)) #

Anvendelse af polynomernes identitet:

#COLOR (orange) (a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b)) #

vi har:

#COLOR (blå) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Farve (blå) ((x-2) (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = Farve (blå) ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

Lad os nedbryde det rationelle udtryk ved at finde # A, B og C #

#COLOR (brun) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = farve (grøn) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x 2)) #

#COLOR (brun) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) #

# = Farve (brun) ((A (x-1) (x + 1)) / (x-2) + (B (x-2) (x + 1)) / (x-1) + (C (x-2) (x-1)) / (x + 1)) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2 + x-2x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2x-2x 2)) / (x + 1) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-3x + 2)) / (x + 1) #

# = (Ax ^ 2-A + Bx ^ 2-Bx-2B + Cx ^ 2-3Cx + 2C) / ((x-2) (x-1) (x + 1) #

# = Farve (brun) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

# = Farve (brun) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) = farve (grøn) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) #

Derefter, #rArrcolor (brun) ((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) = farve (grøn) (3x) #

Vi har et system med tre ligninger med tre ukendte # A, B og C #

# A + B + C = 0 # eq1

# -B-3C = 3 # eq2

# -A-2B + 2C = 0 # EQ3

Begynder at løse systemet

eq2:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (rød) (B = -3-3C) #

substituere # B # i eq1 har vi:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2c = 0rArrcolor (rød) (A = 3 + 2C) #

substituere #B og C #i eq3 har vi:

# -A-2B + 2C = 0 # EQ3

# RArr- (farve (rød) (3 + 2C)) - 2 (farve (rød) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# RArr-3-2c + 6 + 6C + 2C = 0 #

# RArr + 3 + 6C = 0 #

# RArr6C = -3 #

#rArrcolor (rød) (C = -1 / 2) #

#COLOR (rød) (B = -3-3C) = - 3-3color (rød) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

#COLOR (rød) (B = -3/2 #

#COLOR (rød) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#COLOR (rød) (A = 2) #

Lad os erstatte værdierne:

#COLOR (grøn) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) = farve (brun) (farve (rød) 2 / (x-2) + (farve (rød) (- 3 / 2)) / (x-1) + farve (rød) ((- 1/2)) / (x + 1)) #

Derfor, # (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #