Hvordan forenkler du root3 (1)?

Svar:

#1# eller #1^(1/3)# =#1#

Forklaring:

Den kubede rod på 1 er den samme som at hæve 1 til kraften af #1/3#. 1 til kraften af noget er stadig 1.

Svar:

Arbejder i de virkemidler, vi får #root 3 {1} = 1 #.

Hvert ikke-nult komplekst tal har tre kube rødder, så der

#root 3 {1} = 1 eller -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Forklaring:

Hvis vi arbejder i reelle tal, bemærker vi bare #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #. Jeg går ud fra, at det handler om komplekse tal.

En af de ulige ting vi finder ud af når vi dykker ind i komplekse tal er, at funktionen #F (z) = e ^ {z} # er periodisk. Eksponentiel vækst er slags det modsatte af periodiske, så det er en overraskelse.

Det vigtigste faktum er Euler's Identity squared. Jeg kalder det Eulers sande identitet.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

Eulers True Identity viser # E ^ z # er periodisk med periode # 2pi jeg #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z)

Vi kan hæve Euler's True Identity til et helt tal # K #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Hvad har alt dette at gøre med kubens rod af en? Det er nøglen. Det fortæller, at der er et uendeligt antal måder at skrive en på. Nogle af dem har forskellige terningerødder end andre. Det er derfor, at ikke-heltal eksponenter giver anledning til flere værdier.

Det er alt sammen en stor windup. Normalt starter jeg bare disse ved at skrive:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # for heltal # K #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos / 3) + jeg synd (2pi k / 3) #

Det sidste trin er selvfølgelig Eulers formel # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta. #

Siden vi har # 2pi # periodicitet af trig-funktionerne (som følger af periodiciteten af eksponentiel og Euler's formel) har vi kun unikke værdier i tre på hinanden følgende # K #s. Lad os vurdere dette for # K = 0,1, -1 #:

# K #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# K #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# K #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + jeg synd (- {2pi} / 3) = -1/2 - i sqrt {3} / 2 #

Så vi får tre værdier for kubens rod af en:

#root 3 {1} = 1 eller -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #