Hvordan finder man første derivat af f (x) = 2 sin (3x) + x?

Svar:

#F '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Forklaring:

Differentier hver term:

# (D (x)) / dx = 1 #

Ved at bruge kædereglerne for andet sigt har vi:

#g (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) h '(k (x)) #

Med:

#t (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#K (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#g (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

Sammen har vi:

#F '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Svar:

Vi bliver bedt om at finde afledte af #f (x) = 2sin (3x) + x # ved hjælp af definitionen: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Forklaring:

Vi skal evaluere:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) f x)) / h #.

Dette vil være besværligt. For at få det til at se mindre kompliceret, lad os dele udtrykket i to enklere dele. Vi tager den trigonometriske del og den lineære del separat.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) (x + h) -x) / h #

Jeg antager, at du kan vise, at den anden grænse er #1#. Den mere udfordrende grænse er grænsen for trigonometriske funktioner.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -in3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

(3) (3h)) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3)

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Så når vi sætter de to stykker sammen, får vi:

(x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #