Hvad er cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

Svar:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Forklaring:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + synd ^ (- 1) (- 1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

Nu bruger #cos ^ (- 1) X-cos ^ (- 1) y = xy + sqrt ((1-x ^ 2) * (1-y ^ 2)) #, vi får,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos (cos ^ (- 1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Svar:

Ved summen vinkel formel er det

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) synd (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #

Forklaring:

#x = cos (arcsin (-1/2) + arccos (5/13)) #

Disse spørgsmål er forvirrende nok med den funky inverse funktion notation. Det reelle problem med spørgsmål som dette er, at det generelt er bedst at behandle de inverse funktioner som multivalued, hvilket kan betyde, at udtrykket også har flere værdier.

Vi kan også se på værdien af #x# for den primære værdi af de inverse funktioner, men jeg vil overlade det til andre.

Alligevel er det cosinus af summen af to vinkler, og det betyder at vi anvender summevinkelformlen:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin en synd b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - synd (arcsin (-1/2)) synd (arccos (5/13)) #

Cosine af inverse cosinus og sinus af inverse sinus er nemme. Cosinus af inverse sinus og sinus af inverse cosinus er også ligetil, men der er hvor det multivalued problem kommer ind.

Der vil generelt være to ikke-coterminale vinkler, der deler en given cosinus, negationer af hinanden, hvis sines vil være negationer af hinanden. Der vil generelt være to ikke-coterminale vinkler, der deler en given sinus, supplerende vinkler, som vil have kosiner, der er negationer af hinanden. Så begge måder vi op med en #om eftermiddagen#. Vores ligning vil have to #om eftermiddagen# og det er vigtigt at bemærke, at de er uafhængige, uden tilknytning.

Lad os tage #arcsin (-1/2) # først. Dette er selvfølgelig et af trig's cliches, # -30 ^ circ # eller # -150 ^ circ #. Cosinuserne vil være # + sqrt {3} / 2 # og # - sqrt {3} / 2 # henholdsvis.

Vi behøver ikke virkelig at overveje vinklen. Vi kan tænke på den rigtige trekant med modsatte 1 og hypotenuse 2 og komme op med tilstødende # Sqrt {3} # og cosinus # pm sqrt {3} / 2 #. Eller hvis det er for meget at tænke, siden # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # derefter #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # som mekanisk lader os sige:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

Tilsvarende #5,12,13# er Pythagorean Triple ansat her så

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = pm 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #