Antallet af måder, hvorpå en eksaminator kan tildele 30 karakterer til 8 spørgsmål med ikke mindre end 2 karakterer til et spørgsmål er?

Svar:

#259459200#

Forklaring:

Hvis jeg læser dette korrekt, så hvis eksaminator kun kan tildele mærker i multipler af 2. Dette ville da betyde, at der kun er 15 valg ud af de 30 karakterer. #30/2 = 15#

Så har vi 15 valg fordelt på de 8 spørgsmål.

Brug af formlen for permutationer:

# (n!) / ((n - r)!) #

Hvor # N # er antallet af objekter (i dette tilfælde mærkerne i grupper på 2).

Og # R # er hvor mange der tages ad gangen (i dette tilfælde de 8 spørgsmål)

Så vi har:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Svar:

Der er # "" _ 21C_14 # (eller 116.280) måder.

Forklaring:

Vi starter med 30 point i "banken" for at give. Da alle spørgsmål skal være mindst 2 point værd, tager vi # 2 xx 8 = 16 # mærker fra #30# og distribuere dem ligeligt. Nu har hvert spørgsmål 2 (hidtil) og "banken" er tilbage med #30-16=14# mærker.

Nu skal vi bare finde antallet af måder at opdele de resterende 14 mærker blandt de 8 spørgsmål. I starten kan det virke meget svært, men der er et trick, der gør det meget mere intuitivt.

Lad os forenkle tingene et øjeblik. Hvad hvis vi kun havde 2 spørgsmål, og 14 mærker at splitte mellem dem? Hvor mange måder kan vi gøre det? Nå kunne vi dele mærkerne som 14 + 0 eller 13 + 1 eller 12 + 2 osv. … eller 1 + 13 eller 0 + 14. Med andre ord, når vi kun skal introducere 1 split mellem 2 spørgsmål), får vi 15 måder at gøre det på.

Dette er det samme som at spørge: "Hvor mange unikke måder kan vi arrangere 14 gule marmor (mærkerne) og 1 blå marmor (spørgsmålet splitteren) i træk?" Svaret herpå findes ved at beregne antallet af permutationer af alle 15 marmor (som er #15!#), så divideres med antallet af måder at permutere begge gule marmor #(14!)# og blå marmor #(1!)#, da det inden for hvert arrangement ikke er noget i hvilken rækkefølge de samme marmor forekommer.

Så når der er 14 gule marmor (mærker) og 1 blå marmor (spørgsmål splitter), er der

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Annullere (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 måder at arrangere marmorerne på (split mærkerne). Bemærk: dette er lig med # "" _ 15C_14 #.

Lad os introducere en anden blå marmor, det vil sige et andet split eller et tredje spørgsmål til at give mærkerne til. Nu har vi 16 samlede marmor, og vi vil gerne vide, hvor mange unikke måder vi kan arrangere disse. Ligesom før tager vi #16!# måder at arrangere alle marmor på, så opdele sig ved måderne at permutere både de gule #(14!)# og de blå #(2!)#:

# (16!) / (14! XX2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Annullere (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Så der er 120 måder at opdele 14 karakterer mellem 3 spørgsmål. Dette er også lig med # "" _ 16C_14 #.

Nu kan du bemærke, hvor vi er på vej. Nummeret til venstre for # C # er lig med antallet af mærker vi splitter (gule marmor) plus Antallet af splittere (blå marmor). Antallet af splittere er altid en mindre end Antallet af spørgsmål. Nummeret til højre for # C # forbliver antallet af mærker.

For at opdele de resterende 14 mærker blandt alle 8 spørgsmål (som kræver 7 splittere) beregner vi

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#COLOR (hvid) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#COLOR (hvid) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116.280" #

Så der er 116.280 måder at tildele 30 point til 8 spørgsmål, hvor hvert spørgsmål er mindst 2 point værd.