Hvad svarer (3 + i) ^ (1/3) til a + bi form?

Svar:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Forklaring:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alfa) + i sin (alfa)) # hvor #alpha = arctan (1/3) #

Så

#root (3) (3 + i) = rod (3) (sqrt (10)) (cos (alfa / 3) + i sin (alfa / 3)) #

# = root (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3)))

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Siden # 3 + i # er i 1. kvartal, denne primære kube rod af # 3 + i # er også i 1. kvartal.

De to andre kube rødder af # 3 + i # er eksprimerbare ved anvendelse af den primitive komplekse kube rod af enhed #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = rod (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + rod (6) (10) synd (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) jeg #

# omega ^ 2 (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + rod (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) jeg #