Hvordan bruger du kædelegemet til at differentiere y = (x ^ 3 + 4) ^ 5 / (3x ^ 4-2)?

Svar:

#COLOR (blå) (y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (33x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2) #

Forklaring:

# Y # er et kvotient i form af #COLOR (blå) (y = (u (x)) / (v (x))) #

Udskuddet af kvotienten er som følger:

#COLOR (blå) (y '= ((u (x))' v (x) - (v (x)) «u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

Lad os finde # (U (x)) '# og # (V (x)) '#

#COLOR (grøn) ((u (x)) '=?) #

#u (x) # er en sammensætning af to funktioner #F (x) # og #g (x) # hvor:

#F (x) = x ^ 5 # og #g (x) = x ^ 3 + 4 #

Vi skal bruge kæderegel til at finde #COLOR (grøn) ((u (x)) ') #

#u (x) = f (g (x)) # derefter

#COLOR (grøn) ((u (x)) '= f' (g (x)) * g '(x)) #

#F '(x) = 5x ^ 4 # derefter

#F '(g (x)) = 5 (g (x)) ^ 4 #

#COLOR (grøn) (f '(g (x)) = 5 (x ^ 3 + 4) ^ 4) #

#COLOR (grøn) ((g (x)) '= 3x ^ 2) #

Så,# (U (x)) '= 5 (x ^ 3 + 4) ^ 4 * 3x ^ 2 #

#COLOR (grøn) ((u (x)) '= 15x ^ 2 (x ^ 3 + 4) ^ 4) #

#COLOR (rød) ((v (x)) '=?) #

#v (x) = 3x ^ 4-2 #

#COLOR (rød) ((v (x)) '= 12x ^ 3) #

Lad os nu erstatte #COLOR (grøn) ((u (x)) '# og #COLOR (rød) ((v (x)) '# i #COLOR (blå) y '#

#COLOR (blå) (y '= ((u (x))' v (x) - (v (x)) «u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#Y '= (farve (grøn) (15x ^ 2 (x ^ 3 + 4) ^ 4) * (3x ^ 4-2) -Farve (rød) (12x ^ 3) (x ^ 3 + 4) ^ 5) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#Y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 15x ^ 2 (3x ^ 4-2) -12x ^ 3 (x ^ 3 + 4)) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#Y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 45x ^ 6-30x ^ 2-12x ^ 6-48x ^ 3) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#Y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (45x ^ 6-12x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

Derfor, #COLOR (blå) (y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (33x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2) #