Hvordan finder du en kvadratisk funktion f (x) = ax² + bx + c givet minimumsværdi -4 når x = 3; et nul er 6?

Svar:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Forklaring:

Kvadratiske funktioner er symmetriske om deres vertex linje, dvs. ved x = 3, så dette indebærer, at den anden nul vil være ved x = 0.

Vi ved, at vertexet forekommer ved x = 3, så det første derivat af funktionen evalueret ved x = 3 vil være nul.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

Vi kender også værdien af selve funktionen ved x = 3, #f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

Vi har to ligninger, men tre ukendte, så vi skal bruge en anden ligning. Kig på det kendte nul:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

Vi har et system af ligninger nu:

# ((6, 1, 0), (9,3,1), (36,6,1)) (a), (b), (c)) = ((0), (- 4) (0)) #

For at aflæse løsningerne ønsker vi at reducere vores koefficient matrix til reduceret echelon form ved hjælp af elementære række operationer.

Multiplicér første række ved #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

Tilføje #-9# gange den første række til den anden række:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

Tilføje #-36# gange den første række til den tredje:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

Multiplicér anden række ved #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

Tilføje #-2/3# gange den tredje række til den anden række:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Tilføje #-1/6# gange den anden til den første

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

At udføre denne række operationer til opløsningsvektoren giver:

#((4/9),(-8/3),(0))#

Så læsning af de løsninger, vi har # a = 4/9 og b = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

graf {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7,205, 12,795, -5,2, 4,8}