Hvordan kunne jeg bevise dette? Ville dette bruge en sætning fra rigtig analyse?

# "Brug definitionen af derivat:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# "Her har vi" #

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

# g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Vi skal bevise det" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"eller"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"eller"#

#h '(x_0) = 0 #

# "med" h (x) = f (x) - g (x) #

#"eller"#

(f_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"eller"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(på grund af" f (x_0) = g (x_0) ")" #

#"Nu"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "hvis" h> 0 "og" lim> = 0 "hvis" h <0 #

# "Vi antog, at f og g er differentierbare" #

# "så" h (x) = f (x) - g (x) "er også differentiable," #

# "så venstre grænse skal svare til den rigtige grænse, så" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Svar:

Jeg vil give en hurtigere løsning end den i http://socratic.org/s/aQZyW77G. Til dette bliver vi nødt til at stole på nogle velkendte resultater fra beregningen.

Forklaring:

Definere #h (x) = f (x) -g (x) #

Siden #f (x) le g (x) #, vi har #h (x) le 0 #

På # X = x_0 #, vi har #f (x_0) = g (x_0) #, så det #h (x_0) = 0 #

Dermed # X = x_0 # er maksimalt den differentierbare funktion #t (x) # inde det åbne interval # (A, b) #. Dermed

#h ^ '(x_0) = 0 indebærer #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) indebærer #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #