Hvad er kvadratroden af 5?

Kvadratroden af #5# kan ikke forenkles far end den allerede er, så her er # Sqrt5 # til ti decimaler:

# Sqrt5 ~~ 2,2360679775 … #

Svar:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # er et irrationelt tal.

Forklaring:

Alle positive tal har normalt to firkantede rødder, en positiv og en negativ af samme størrelse. Vi betegner den positive (a.k.a. hovedstol) kvadratroden af # N # ved #sqrt (n) #.

En kvadratrod af et tal # N # er et tal #x# sådan at # x ^ 2 = n #. Så hvis # x ^ 2 = n # så også # (- x) ^ 2 = n #.

Men populær brug er, at "kvadratroten" refererer til den positive.

Antag, at vi har et positivt tal #x# som opfylder:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Derefter multiplicere begge sider af # (2 + x) # vi får:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Derefter trækker # 2x # fra begge sider får vi:

# X ^ 2 = 5 #

Så vi har fundet:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (hvid) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))))) #

Sinds denne fortsatte fraktion ophører ikke, vi kan fortælle det #sqrt (5) # kan ikke repræsenteres som en termineringsfraktion - dvs. et rationelt tal. Så #sqrt (5) # er et irrationelt tal lidt mindre end #2 1/4 = 9/4#. For bedre rationelle tilnærmelser kan du opsige den fortsatte fraktion efter flere vilkår.

For eksempel:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Udpakning af disse fortsatte fraktioner kan være lidt kedelig, så jeg foretrækker generelt at anvende en anden metode, nemlig grænseværdien for en heltalsekvens defineret rekursivt.

Definer en sekvens ved at:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):}

De første få vilkår er:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Forholdet mellem vilkår vil have tendens til # 2 + sqrt (5) #.

Så finder vi:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #