Hvis radius af en kugle stiger med en hastighed på 4 cm pr. Sekund, hvor hurtigt er volumenet stigende, når diameteren er 80 cm?

Svar:

12,800cm3s

Forklaring:

Dette er en klassisk Relaterede priser problemer. Ideen bag relaterede priser er, at du har en geometrisk model, der ikke ændrer sig, selvom tallene ændrer sig.

For eksempel forbliver denne form en kugle, selvom den ændrer størrelse. Forholdet mellem et vares volumen og dets radius er

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

Så længe dette geometrisk forhold ændrer sig ikke efterhånden som kuglen vokser, så kan vi indlede dette forhold implicit og finde et nyt forhold mellem forandringshastighederne.

Implicit differentiering er, hvor vi udlede hver variabel i formlen, og i dette tilfælde danner vi formlen med tiden.

Så vi tager afledt af vores sfære:

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

# (DV) / (dt) = 4 / 3pi (3r ^ 2) (dr) / dt #

# (DV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

Vi blev faktisk givet # (Dr) / (dt) #. Det er # 4 (cm) / s #.

Vi er interesserede i det øjeblik, hvor diameter er 80 cm, hvilket er når radius vil være 40 cm.

Hastigheden af stigningen i volumen er # (DV) / (dt) #, som er det, vi leder efter, så:

# (DV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

# (DV) / (dt) = 4pi (40cm) ^ 2 (4 (cm) / s) #

# (DV) / (dt) = 4pi (1600 cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (DV) / (dt) = 4pi (1600 cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (DV) / (dt) = 12.800 (cm ^ 3) / s #

Og enhederne arbejder selv korrekt ud, da vi skal få et volumen divideret med tiden.

Håber dette hjælper.