Hvad er int (cos (x)) ^ 4 dx?

Svar:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + synd (4x) #

Forklaring:

Selvom det oprindeligt ser ud til at være en virkelig irriterende integreret, kan vi rent faktisk udnytte trigidentiteter til at bryde denne integral ned i en række simple integraler, som vi er mere bekendt med.

Den identitet, vi vil bruge, er:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Dette gør os i stand til at manipulere vores ligning som sådan:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Vi kan nu anvende vores regel igen for at eliminere cos ^ 2 (2x) inde i parentetisk:

# 1 / 4int (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1 + 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2 + 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3 + 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Nu har vi faktisk et ret simpelt integrationsproblem, vi kan distribuere integralet i vores parentes, så:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Hver af disse trig integraler håndteres med den enkle regel at #int cos (ax) dx = 1 / a sin (økse) #.

Dermed, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 synd (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + synd (4x) #