Hvad er den lokale ekstrem, hvis nogen, af f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Svar:

#(0.14414, 0.05271)# er et lokalt maksimum

#(1.45035, 0.00119)# og #(-1.59449, -1947.21451)# er de lokale minimumsbeløb.

Forklaring:

#F (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# Dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

Dette kvalificerer ikke som en lokal ekstremt.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

For at løse rødderne af denne kubiske funktion bruger vi Newton-Raphson-metoden:

#x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) #

Dette er en iterativ proces, der vil tage os tættere og tættere på funktionsroten. Jeg indbefatter ikke den lange proces her, men når jeg er kommet til den første rod, kan vi udføre lang division og løse den resterende kvadratiske let for de to andre rødder.

Vi får følgende rødder:

# x = 0,144414, 1,45035 og -1,59449 #

Vi udfører nu en første afledetest og prøver værdier til venstre og højre for hver rod for at se, hvor derivatet er positivt eller negativt.

Dette vil fortælle os hvilket punkt der er maksimalt og hvilket minimum.

Resultatet bliver som følger:

#(0.14414, 0.05271)# er et lokalt maksimum

#(1.45035, 0.00119)# og #(-1.59449, -1947.21451)# er de lokale minimumsbeløb.

Du kan se et af minimumene i nedenstående graf:

Følgende visning viser maksimum og det andet minimum: