Hvad er orthocenteret af en trekant med hjørner på (4, 7), (8, 2) og (5, 6) #?

Svar:

Orthocenter koordinater #farve (rød) (O (40, 34) #

Forklaring:

Hældning af linjesegment BC # = m_ (BC) = (6-2) / (5-8) = -4 / 3 #

Hældning af #m_ (AD) = - (1 / m_ (BC)) = (3/4) #

Højdeforhold, der passerer gennem A og vinkelret på BC

#y - 7 = (3/4) (x - 4) #

# 4y - 3x = 16 # Eqn (1)

Hældning af linjesegment AC #m_ (AC) = (7-6) / (4-5) = -1 #

Højdehældning Vinkelret på BC #m_ (BE) = - (1 / m_ (AC)) = - (1 / -1) = 1 #

Højdeforhold, der passerer gennem B og vinkelret på AC

#y - 2 = 1 * (x - 8) #

#y - x = -6 # Eqn (2)

Løsning af Eqns (1), (2) vi ankommer til orthocenterets koordinater O

#x = 40, y = 34 #

Koordinater for orthocenter #O (40, 34) #

Verifikation:

Hældning af #CF = - (4-8) / (7-2) = (4/5) #

Ligning af højde CF

#y - 6 = (4/5) (x - 5) #

# 5y - 4x = 10 # Eqn (3)

Orthocenter koordinater #O (40, 34) #

Svar:

orthocenter: #(40,34)#

Forklaring:

Jeg har udarbejdet den semi-generelle sag her. (Http://socratic.org/questions/what-is-the-orthocenter-of-a-triangle-with-corners-at-7-3-4-4 -and-2-8)

Konklusionen er trekantens orthocenter med hjørner # (A, b), # # (C, d) # og #(0,0)# er

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Lad os teste det ved at anvende det på denne trekant og sammenligne resultatet med det andet svar.

Først oversætter vi (5, 6) til oprindelsen og giver de to andre oversatte hjørner:

# (A, b) = (4,7) - (5,6) = (- 1,1) #

# (c, d) = (8,2) - (5,6) = (3, 4) #

Vi anvender formlen i det oversatte rum:

# (x, y) = {-1 (3) + 1 (-4)} / {- 1 (-4) - 1 (3)} (-5, -4) = -7 (-5, -4) = (35,28) #

Nu oversætter vi tilbage til vores resultat:

orthocenter: #(35,28) + (5,6) = (40,34)#

Det svarer til det andet svar!