Svar:
Konvergerer til # 1 + i # (på min Ti-83 grafregner)
Forklaring:
Lade # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
For det første antages det, at denne uendelige serie konvergerer (dvs. antages at S eksisterer og tager værdien af et komplekst tal), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
Og hvis du løser for S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
og anvende den kvadratiske formel, du får:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 pm i #
Normalt tager kvadratrodsfunktionen den positive værdi således # S = 1 + i #
Således, hvis det konvergerer, skal det konvergere til # 1 + i #
Nu er alt du skal gøre, bevise at det konvergerer, eller hvis du er doven som mig, så kan du tilslutte # sqrt {-2} # ind i en regnemaskine, der kan håndtere imaginære tal og bruge recidiveringsforholdet:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Jeg gentog dette mange gange på min Ti-83 og fandt ud af at det bliver tættere for eksempel efter at jeg gentog det et sted som 20 gange, jeg fik ca.
# 1,000694478 + 1.001394137i #
temmelig god tilnærmelse
