Er x ^ 12-y ^ 12 forskel på to firkanter eller forskel på to terninger?

Det kunne være begge, faktisk.

Du kan bruge egenskaberne af eksponentielle kræfter til at skrive disse udtryk både som en forskel på kvadrater og som en forskel på terninger.

Siden # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, det kan man godt sige

# x ^ (12) = x ^ (6 * farve (rød) (2)) = (x ^ (6)) ^ (farve (rød) (2)) #

og

# y ^ (12) = (y ^ (6)) ^ (farve (rød) (2) #

Det betyder at du får

(x) (2) - (y ^ (6)) ^ (2) = (x ^ (6) - y ^ (6)) (x ^ (6) + y ^ (6)) #

Ligeledes, # x ^ (12) = x ^ (4 * farve (rød) (3)) = (x ^ (4)) ^ (farve (rød) (3)) # og # y ^ (12) = (y ^ (4)) ^ (farve (rød) (3)) #

Så du kan skrive

# x ^ (12) - y ^ (12) = (x ^ (4)) ^ (3) - (y ^ (4)) ^ (3) = (x ^ 4 - y ^ 4) (4)) ^ 2 + x ^ (4) y ^ (4) + (y ^ 4) ^ (2) #

# x ^ 12 - y ^ 12 = (x ^ 4 - y ^ 4) x ^ 8 + x ^ (4) y ^ 4 + y ^ 8 #

Som du kan se, kan du forenkle disse udtryk yderligere. Her er hvordan du ville faktor dette udtryk helt

# x ^ (12) - y ^ (12) = underbrace ((x ^ 6 - y ^ 6)) _ (farve (grøn) ("forskel på to firkanter")) * underbrace ((x ^ 6 + y ^ 6)) _ (farve (blå) ("summen af to terninger")) = #

("x-3 + y ^ 3)" _ (farve (blå) (" summen af to terninger ")) * (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ 2 * y ^ 2 + y ^ 4) = #

(x ^) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) * (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ 2 * y ^ 2 + y ^ 4) #

(x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 2 - xy + y ^ 2) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ 2 y ^ 2 + y ^ 2) #