Hvordan finder du volumenet af det faststof, der genereres ved at dreje området, der er afgrænset af kurverne y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) roteret omkring y = 4?

Svar:

# V = 685 / 32pi # kubiske enheder

Forklaring:

Skitse først graferne.

# Y_1 = x ^ 2-x #

# Y_2 = 3-x ^ 2 #

#x#opfange

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # Og det har vi # {(X = 0), (x = 1):} #

Så aflytninger er #(0,0)# og #(1,0)#

Få krydset:

# Y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Så vertex er på #(1/2,-1/4)#

Gentag tidligere:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # Og det har vi # {(X = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Så aflytninger er # (Sqrt (3), 0) # og # (- sqrt (3), 0) #

# Y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Så vertex er på #(0,3)#

Resultat:

Hvordan får man lydstyrken? Vi skal bruge disk metode!

Denne metode er simpelthen at: # "Volume" = piint_a ^ af ^ 2dx #

Ideen er enkel, men du skal bruge den smart.

Og det er det, vi skal gøre.

Lad os ringe til vores lydstyrke # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

NB: Jeg tager # (4-y) # fordi # Y # er kun afstanden fra #x#-Kan til kurven, mens vi ønsker afstanden fra linjen # Y = 4 # til kurven!

Nu for at finde #en# og # B #, vi ligestiller # Y_1 # og # Y_2 # og derefter løse for #x#

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1,5), (x = 1):} #

Siden #en# kommer før # B #, # => A = -1 # og # B = 1,5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1,5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1,5 (4-x ^ 2-x) ^ 2x = piint _ (- 1) ^ x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Gør det samme for # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1,5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1,5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1,5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1,5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = farve (blå) ((685pi) / 32) #

Hvordan bruger du shell-metoden til at oprette og evaluere integralet, der giver volumenet af det faststof, der genereres ved at dreje planetområdet y = sqrt x, y = 0 og y = (x-3) / 2 roteret om x- akse?

Se svaret nedenfor:

Hvordan finder du volumenet af det faste stof, der genereres ved at dreje om regionen, der er afgrænset af graferne af ligningerne y = sqrtx, y = 0 og x = 4 om y-aksen?

V = 8pi volumen enheder Vigtigt er problemet du har: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Husk at volumenet af et faststof er givet ved: V = piint (f (x)) ^ 2 dx Således vores oprindelige intergral svarer: V = piint_0 ^ 4 (x) dx Hvilket er til gengæld lig med: V = pi [x ^ 2 / (2)] mellem x = 0 som vores nedre grænse og x = 4 som vores øvre grænse. Ved hjælp af Calculus's grundlæggende sætning erstatter vi vores grænser ind i vores integrerede udtryk som at trække den nedre grænse fra den øvre grænse. V = pi [16 / 2-0] V = 8 pi volumen enheder

Hvordan finder du volumenet af det faste stof dannet ved at dreje om regionen, der er afgrænset af graferne af ligningerne y = 2x, y = 4, x = 0 ved hjælp af skalmetoden?

Se svaret nedenfor: