Hvordan løses den separerbare differentialekvation og finder den specifikke løsning, der opfylder den oprindelige betingelse y (-4) = 3?

Svar:

Generel løsning: #color (rød) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #

Særlig løsning: #COLOR (blå) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Forklaring:

Fra den givne differentialligning #Y '(x) = sqrt (4y (x) +13) #

Bemærk det #y '(x) = dy / dx # og #Y (x) = y #, derfor

# Dy / dx = sqrt (4y + 13) #

divider begge sider af #sqrt (4y + 13) #

# Dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# Dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1 #

Multiplicer begge sider af # Dx #

# Dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / annullere (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# Dy / sqrt (4y + 13) = dx #

omsætte # Dx # til venstre side

# Dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

Integrering på begge sider har vi følgende resultater

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4y + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (rød) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #Generel løsning

Men #Y (-4) = 3 # betyder hvornår # x = -4 #, # Y = 3 #

Vi kan nu løse for # C_1 # at løse for den særlige løsning

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) +13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

Derfor er vores særlige løsning

#COLOR (blå) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Gud velsigne …. Jeg håber forklaringen er nyttig.

Svar:

# Y = x ^ 2 + 13x + 36 #, med #Y> = - 13/4 #.

Forklaring:

#Y> = - 13/4 #, at lave #sqrt (4y + 13) # ægte..

Omorganisering, #x '(y) = 1 / sqrt (4y + 13) #

Så, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

Ved brug af #y = 3, når x = -4, C = -13 / 2 #

Så. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Omvendt. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #