Hvad er ekstrem- og sadelpunkterne for f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) på intervallet x, y i [-pi, pi]?

Svar:

Forklaring:

Vi har:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

Trin 2 - Identificer kritiske punkter

Et kritisk punkt opstår ved en samtidig opløsning af

# f_x = f_y = 0 iff (delvis f) / (delvist x) = (delvist f) / (delvis y) = 0 #

dvs. når:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # samtidigt

Overvej ligning A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Så har vi to løsninger:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Lad os nu bruge Eq B for at finde den tilsvarende koordinat:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# = = 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x i RR # (tagrender)

Hvilket giver os følgende kritiske punkter:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 kritiske punkter)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 kritiske punkter)

# (alfa, 0) AA alfa i RR # (gitter linje)

# (alpha, + -pi) AA alfa i RR # (2 gutter linjer)

Overvej ligning B

# -6sinxsin2y = 0 #

Så har vi to løsninger:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Lad os nu bruge Eq A for at finde den tilsvarende koordinat @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (gentagelser af ovenstående)

# y = 0 => x i RR # (gentag ovenstående)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (gentagelser af ovenstående)

Hvilket giver os ingen ekstra kritiske punkter:

Trin 3 - Klassificer de kritiske punkter

For at klassificere de kritiske punkter udfører vi en test svarende til den for en variabel beregning ved hjælp af de andre partielle derivater og Hessian Matrix.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (xx) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | (delvist ^ 2 f) / (delvist x 2), (delvist ^ 2 f) / (delvist x delvist y)), ((delvist ^ 2 f) /) / (delvis y ^ 2)) = f_ (xx) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Derefter afhænger værdien af # Delta #:

# {: (Delta> 0, "Der er maksimum hvis" f_ (xx) <0), ("og et minimum hvis" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "der er et sadelpunkt"), (Delta = 0, "Yderligere analyse er nødvendig"):} #

Ved hjælp af brugerdefinerede Excel-makroer beregnes funktionsværdierne sammen med de partielle afledte værdier som følger:

Her er en plot af funktionen

Og ploit med de kritiske punkter (og gutters)

Hvad er den absolutte ekstrem af y = cos ^ 2 x - sin ^ 2 x på intervallet [-2,2]?

Cos ^ 2x-sin ^ 2x = cos (2x), som har en maksimumsværdi på 1 (ved x = 0) og en minimumsværdi på -1 (ved 2x = pi så x = pi / 2)

Hvad er ekstrem- og sadelpunkterne for f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domænet for definitionen af: f (x) = 2x ^ 2lnx er intervallet x i (0, + oo). Evaluere den første og anden derivat af funktionen: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx De kritiske punkter er løsningerne af: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 og som x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) I dette punkt: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, så det kritiske punkt er et lokalt minimum. Sadelpunkterne er løsningerne af: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 og da f '' (x) er monoto

Hvad er ekstrem- og sadelpunkterne for f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Sadlen peger på oprindelsen. Vi har: f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x Og så afledes vi de partielle derivater. Husk, når vi delvist differentierer, at vi differentierer med den pågældende variabel, mens vi behandler de andre variabler som konstant. Og så: (delvis f) / (delvist x) = 2xy-y ^ 2 og (delvist f) / (delvis y) = x ^ 2-2yx Ved ekstrem- eller sadelpunkter har vi: delvist f) / (delvist x) = 0 og (delvist f) / (delvis y) = 0 samtidigt: dvs. en samtidig opløsning af: 2xy-y ^ 2 = 0 => y 2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y Derfor e