Spørgsmål nr. 059f6

Svar:

# x (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) 1) ^ (2k + 1) #

Forklaring:

Taylor-udviklingen af en funktion # F # på #en# er (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((n = f) 2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Husk, det er en power-serie, så det ikke nødvendigvis konvergerer til # F # eller endda konvergere et andet sted end på # x = en #.

Vi har først brug for derivaterne af # F # hvis vi vil forsøge at skrive en reel formel af sin Taylor-serie.

Efter beregning og induktionssikker kan vi sige det #AAk i NN: f ^ (2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # og #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Så efter lidt grov og lille forenkling ser det ud til, at Taylor-serien af # F # er (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) +1) #.