Er der en systematisk måde at bestemme antallet af tal mellem 10 og, sige 50, delelig med deres enheder cifre?

Svar:

Antallet af tal mellem #10# og # 10k # delelig med deres enheder ciffer kan repræsenteres som

#sum_ (n = 1) ^ 9fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

hvor #fl (x) # repræsenterer gulvfunktionen, kortlægning #x# til det største heltal mindre end eller lig med #x#.

Forklaring:

Dette svarer til at spørge hvor mange heltal #en# og # B # eksistere hvor # 1 <= b <5 # og # 1 <= a <= 9 # og #en# skel # 10b + en #

Noter det #en# skel # 10b + a # hvis og kun hvis #en# skel # 10b #. Således er det tilstrækkeligt at finde ud af hvor mange sådanne # B #s eksisterer for hver #en#. Bemærk også det #en# skel # 10b # hvis og kun hvis hver primære faktor for #en# er også en primær faktor for # 10b # med passende multiplicitet.

Det eneste der er tilbage, er at gå igennem hver #en#.

#a = 1 #: Da alle heltal er delelig med #1#, alle fire værdier for # B # arbejde.

# A = 2 #: Som #10# kan deles af #2#, alle fire værdier for # B # arbejde.

# A = 3 #: Som #10# er ikke delelig med #3#, vi må have # B # deles af #3#, det er, # B = 3 #.

# A = 4 #: Som #10# kan deles af #2#, vi må have # B # som delelig med #2# at have den passende multiplicitet. Dermed, # B = 2 # eller # B = 4 #.

# A = 5 #: Som #10# kan deles af #5#, alle fire værdier for # B # arbejde.

# A = 6 #: Som #10# kan deles af #2#, vi må have # B # som delelig med #3#, det er, # B = 3 #.

# A = 7 #: Som #10# er ikke delelig med #7#, vi må have # B # som delelig med #7#. Men #b <5 #, og så ingen værdi for # B # arbejder.

# A = 8 #: Som #10# kan deles af #2#, vi må have # B # som delelig med #4#, det er, # B = 4 #

# A = 9: # Som #10# er ikke delelig med #3#, vi må have # B # som delelig med #3^2#. Men #b <5 #, og så ingen værdi for # B # arbejder.

Dette konkluderer hvert tilfælde, og så tilføjer vi dem, får vi som konkluderet i spørgsmålet, #17# værdier. Denne metode kan dog let udvides til større værdier. For eksempel, hvis vi ønskede at gå fra #10# til #1000#, ville vi begrænse # 1 <= b <100 #. Så ser vi på # A = 6 #sige, vi ville have #2# skel #10# og dermed #6# skel # 10b # hvis og kun hvis #3# skel # B #. Der er #33# multipler af #3# i området for # B #, og dermed #33# tal, der slutter i #6# og kan deles af #6# mellem #10# og #1000#.

I en kortere, lettere at beregne notation, ved hjælp af ovenstående observationer, kan vi skrive antallet af heltal mellem #10# og # 10k # som

(n = 1) ^ 9f (k /

hvor #fl (x) # repræsenterer gulvfunktionen, kortlægning #x# til det største heltal mindre end eller lig med #x#.