Kan nogen hjælpe med at løse problemet?

Svar:

Prøv ændringen # x = tan u #

Se nedenunder

Forklaring:

Vi ved det # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Med den foreslåede ændring har vi

# dx = sec ^ 2u du #. Giver erstatning i integralet

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Således afbrydes ændringen:

# U = arctanx # og endelig har vi

# i dig + C = sin (arctanx) + C #

Svar:

#COLOR (blå) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Forklaring:

Lad os prøve at bruge Trigonometrisk Substitution til at løse dette integral. For at gøre det, vil vi konstruere en retvinkeltrekant # Del ABC # og mærker siderne på en sådan måde, at ved hjælp af Pythagoras 'formel kan vi udlede de udtryk, vi for øjeblikket ser i integralens argument som følger:

Vinkel # / _ B = theta # har modsatte side #x# og tilstødende side #1#. Brug af Pythagoras 'formel:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # resulterer i:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # som vist.

Lad os nu skrive de tre mest grundlæggende trigonometriske funktioner til # Theta #:

# Sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Tantheta = x / 1 = x #

Nu skal vi bruge disse ligninger til at løse forskellige dele af det integrerede argument i trigonometriske termer. Lad os bruge # Tantheta #:

# Tantheta = x #

Lad os tage derivater fra begge sider:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Fra # Costheta # ligning, vi kan løse for #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Hvis vi hæver begge sider af denne ligning til kraften af #3# vi får:

# Sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Nu kan vi erstatte det, vi har beregnet til problemintegralet, for at gøre det til et trigonometrisk integral:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetadtheta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelfarve (rød) / (sektekthalancolor (rød) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / sekterad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intetostet theta = sintheta + C #

Nu kan vi erstatte for # Sintheta # og vend vores svar tilbage til et algebraisk udtryk med hensyn til #x#:

#COLOR (blå) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #