Hvorfor er permutationer vigtige?

Svar:

Se nedenfor om nogle tanker:

Forklaring:

Lad os først tale om, hvad en permutation er. For at gøre det, vil jeg først tale om factorials.

Når vi bestiller en masse ting og ordrer er vigtige (såsom antallet af måder at bestille bøgerne på i et 10-volumen-encyklopædi sæt), kan vi se, at der er #10!# måder at arrangere bøgerne på - den første bog på hylden kan være en af 10 bøger, den anden på hylden kan være en af de 9 resterende, den tredje på hylden kan være en af de 8 resterende osv.:

# 10xx9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1 = 10! = 3,628,800 #

Og det virker fint, hvis vi ønsker at arrangere alt, hvad du har på hånden. Men hvad nu hvis vi vil arrangere ting, men ikke alle tingene? Lad os sige, at vi har 10 aktionsfigurer, men kun plads på hylden for 6 af dem. Hvor mange forskellige måder kan vi vise tallene på?

Vi kunne beregne det ved at sige at der er 10 figurer vi kunne placere i position en på hylden, derefter 9 i position to, 8 i position tre osv.

# 10xx9xx8xx7xx6xx5xx4 = "en masse rammer tastetasten på regnemaskinen" #

Vi kan nedskære dette arbejde ved at se, at vores multiplikationsstreng er den samme som:

# ((10xx9xx8xx7xx6xx5) (4xx3xx2xx1)) / (4xx3xx2xx1) = (10!) / (4!) #

som vi kan omskrive:

#(10!)/(4!)=(10!)/((10-6)!)#

og nu har vi alt hvad vi vidste (vælger 6 ting fra en befolkning på 10 ting), og det er sådan en permutation er:

#P_ (n, k) = (n!) / ((N-k)!); n = "population", k = "plukker" #

En faktorial er et fast nummer - det ved vi #10! = 3,628,800# og #4! = 24#, og så kan vi finde det sidste svar ved at sige:

#(10!)/(4!)=(10!)/((10-6)!)=3628800/24=151,200#

Så vi har fundet ud af, at permutationer er gode til at spare meget arbejde ved beregning af antallet af måder ting kan bestilles på, hvor ordningen af arrangementerne er vigtig. Hvor meget arbejde? Lad os overveje dette spørgsmål:

"En fly-flyvning er oversold. Der er 300 personer med billetter til at komme ind på et fly med 250 pladser. Hvor mange forskellige måder kan vi arrangere folk på flyet?"

Svaret er #P_ (300.250) = (300!) / (50!) #

(det omtrentlige numeriske svar er # 9.5xx10 ^ 121 #)