Antag, at der var grundlag for og et vist antal dimensioner for delrum W i RR ^ 4. Hvorfor er antallet af dimensioner 2?

Svar:

4 dimensioner minus 2 begrænsninger = 2 dimensioner

Forklaring:

3. og 4. koordinater er de eneste uafhængige. De to første kan udtrykkes i forhold til de sidste to.

Svar:

Dimensionen af et underrum bestemmes af dets baser, og ikke af dimensionen af et vektorrum er det et underrum af.

Forklaring:

Dimensionen af et vektorrum er defineret af antallet af vektorer i et grundlag af dette rum (for uendelige dimensionelle rum er det defineret af basisets kardinalitet). Bemærk at denne definition er konsistent, da vi kan bevise, at ethvert grundlag for et vektorrum vil have det samme antal vektorer som ethvert andet grundlag.

I tilfælde af # RR ^ n # vi ved det #dim (RR ^ n) = n # som

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

er grundlag for # RR ^ n # og har # N # elementer.

I tilfælde af #W = s, t i RR # vi kan skrive noget element i # W # som #svec (u) + tvec (v) # hvor #vec (u) = (4,1,0,1) # og #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Hermed har vi det # {vec (u), vec (v)} # er et spændingssæt til # W #. Fordi #vec (u) # og #vec (v) # er klart ikke skalære multipler af hinanden (bemærk positionerne for #0#s), det betyder det # {vec (u), vec (v)} # er et lineært uafhængigt spændingssæt til # W #, det er et grundlag. Fordi # W # har grundlag for #2# elementer siger vi det #dim (W) = 2 #.

Bemærk, at dimensionen af et vektorrum ikke afhænger af, om dets vektorer kan eksistere i andre vektorrum med større dimension. Det eneste forhold er, at hvis # W # er et underrum af # V # derefter #dim (W) <= dim (V) # og #dim (W) = dim (V) <=> W = V #