Hvad er derivatet af f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Metode 1:

Vi vil begynde med at bruge reglen om ændring af basis for at omskrive #F (x) # ækvivalent som:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

Vi ved det # d / dx ln x = 1 / x #.

(hvis denne identitet ser ukendt ud, skal du kontrollere nogle af videoerne på denne side for yderligere forklaring)

Så, vi vil anvende kæden regel:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6 #

Derivatet af #ln x / 6 # vil være # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) #

Forenkling giver os:

#f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) #

Metode 2:

Den første ting at bemærke er det kun # d / dx ln (x) = 1 / x # hvor #ln = log_e #. Med andre ord, kun hvis basen er # E #.

Vi skal derfor konvertere # Log_6 # til et udtryk, der kun har #log_e = ln #. Dette bruger vi faktisk

#log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a # hvornår # N = e #

Lad nu #z = (ln x / ln 6) # så det #f (x) = z ^ 2 #

Derfor, (dzzd2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6) #f '(x) = d / dxz ^ 2 =

# = (2z) / (ln 6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x #

(Ln x / ln 6) (1 / x) = (2 ln x) / (x * (ln 6) ^ 2) #