Differentier fra det første princip x ^ 2sin (x)?

Svar:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # fra definitionen af derivatet og tage nogle grænser.

Forklaring:

Lade #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Derefter

# (df) / dx = lim_ {h til 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h til 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h til 0} (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h til 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h til 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h til 0} (2hx (sin (x) cos (h) + synd (h) cos (x))) / h +

# lim_ {h til 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + synd (h) cos (x))) / h #

ved en trigonometrisk identitet og nogle forenklinger. På disse fire sidste linjer har vi fire vilkår.

Den første periode er lig med 0, siden

#lim_ {h til 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h til 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, som kan ses fx fra Taylor-ekspansion eller L'Hospital's regel.

Det Fjerde sigt forsvinder også fordi

#lim_ {h til 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + synd (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h til 0} h (sin (x) cos (h) + synd (h) cos (x)) #

#= 0#.

Nu anden sigt forenkler til

# lim_ {h til 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h til 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, siden

#lim_ {h til 0} (sin (h)) / h = 1 #, som vist her, eller f.eks. L'Hospital's regel (se nedenfor).

Det tredje sigt forenkler til

# lim_ {h til 0} (2hx (sin (x) cos (h) + synd (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h til 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

hvilken efter tilføjer til anden sigt giver det

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Bemærk: Ved L'Hospital's regel, siden # lim_ {h til 0} sin (h) = 0 # og # lim_ {h til 0} h = 0 # og begge funktioner er differentiable omkring # H = 0 #, vi har det

(h / 0) (d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h til 0} cos (h) = 1 #.

Grænsen # lim_ {h til 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # kan vises på samme måde.