Lad 5a + 12b og 12a + 5b være sidelængderne af en retvinklet trekant, og 13a + kb være hypotenusen, hvor a, b og k er positive heltal. Hvordan finder du den mindste mulige værdi af k og de mindste værdier af a og b for det k?

Svar:

# k = 10 #, # A = 69 #, # B = 20 #

Forklaring:

Ved Pythagoras sætning har vi:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Det er:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (hvid) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Træk venstre side fra begge ender for at finde:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (hvid) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Siden #b> 0 # vi har brug for:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Så siden #a, b> 0 # vi har brug for # (240-26k) # og # (169-k ^ 2) # at have modsatte tegn.

Hvornår # k i 1, 9 # begge # 240-26k # og # 169-k ^ 2 # er positive.

Hvornår # k i 10, 12 # vi finder # 240-26k <0 # og # 169-k ^ 2> 0 # som krævet.

Så den mindste mulige værdi af # K # er #10#.

Derefter:

# -20a + 69b = 0 #

Så siden #20# og #69# Har ingen fælles faktor større end #1#, minimumsværdierne for #en# og # B # er #69# og #20# henholdsvis.