Svar:
#(-9/14,3/28)#
Forklaring:
Vi begynder med # Y = 3 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 3x #. Dette er hverken standardform eller vertexform, og jeg foretrækker altid at arbejde med en af disse to former. Så mit første skridt er at konvertere dette rod over til standardformular. Det gør vi ved at ændre ligningen, indtil det ser ud # Y = ax ^ 2 + bx + c #.
For det første handler vi om # (X + 1) ^ 2 #. Vi omskriver det som # (X + 1) * (x + 1) #, og forenkle brugen af distribution, som alle giver os # X ^ 2 + x + x + 1 #, eller # X ^ 2 + 2x + 1 #.
Nu har vi # 3 (x ^ 2 + 2x + 1) + 4x ^ 2 + 3x #. Hvis vi forenkler # 3 (x ^ 2 + 2x + 3) #, der efterlader os med # 3x ^ 2 + 6x + 3 + 4x ^ 2 + 3x #. Nu kan vi kombinere lignende vilkår. # 3x ^ 2 + 4x ^ 2 # giver os # 7x ^ 2 #, og # 6x + 3x # lige med # 9x #. Nu har vi # 7x ^ 2 + 9x + 3 #, som er i standardform. Lad være med at blive for komfortabel, fordi vi konverterer at ind i vertex form på bare et minut.
For at løse for vertex form, vil vi fuldføre pladsen. Vi kunne også bruge den kvadratiske formel eller graf den ligning vi har nu, men hvor er det sjovt i det? Færdiggørelsen af pladsen er vanskeligere, men det er en metode, der er værd at lære, fordi det er ret hurtigt, når man får fat i det. Lad os komme igang.
Først skal vi få # X ^ 2 # i sig selv (ingen koefficienter undtagen nummeret #1# tilladt). I vores tilfælde skal vi faktor a #7# fra alt. Det giver os # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 3/7) #. Herfra skal vi tage mellem sigt # (9 / 7x) # og divider koefficienten ved #2#, som er #9/14#. Så firkantede vi at og vi har #81/196#. Vi tilføjer det til vores ligning, som sådan: # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 + 3/7) #.
VENTE!!! Vi har lige sat et tilfældigt tal i ligningen! Vi kan ikke gøre det! Hvordan kan vi løse dette? Nå, hvad hvis vi bare … trækker det nummer, vi lige har tilføjet? Derefter er værdien ikke ændret #(81/196-81/196=0)#, så vi har ikke brudt nogen regler, ikke? Okay, lad os gøre det.
Nu har vi # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) #. Okay, vi er gode nu. Alligevel bør vi fortsætte med at forenkle, fordi # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) # er lang og besværlig. Så, #-81/196+3/7# er #3/196#, og vi kan omskrive # X ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 # som # (X + 9/14) * (x + 9/14) #, eller # (X + 9/14) ^ 2 #. Du kan undre dig over, hvorfor jeg ikke kombinerede #3/196# med #81/196#. Nå, jeg vil gerne skabe et perfekt firkant, som # (X + 9/14) ^ 2 #. Det er faktisk hele punktet for at fuldføre pladsen. # X ^ 2 + 9/7 + 3/7 # var ikke faktorabel, så jeg fandt nummeret ((9/2) / 2 ^ 2), der gør det faktorabelt. Nu har vi et perfekt firkant med de ubelejlige, ufuldkomne ting, der slog igennem i slutningen.
Så har vi nu # 7 ((x + 9/14) ^ 2 + 3/196) #. Vi er næsten færdige, men vi kan stadig gøre endnu en ting: distribuere #7# til #3/196#. Det giver os # 7 (x + 9/14) ^ 2 + 3/28 #, og vi har nu vores vertex! Fra # 7 (x + farve (grøn) (9/14)) ^ 2color (rød) (+ 3/28) #, vi får begge vores #COLOR (grøn) (x) #-value og vores #COLOR (rød) (y) #-værdi. Vores hjørne er # (farve (orange) (-) farve (grøn) (9/14), farve (rød) (3/28)) #. Bemærk venligst at tegnet på #COLOR (grøn) (x) # komponent er modsat af tegnet inden for ligningen.
For at kontrollere vores arbejde kan vi bare grave ligningen og finde vertexet på den måde.
graf {y = 7x ^ 2 + 9x + 3}
Spidsen er #(.643,.107)#, som er den afrundede decimalform af #(-9/14, 3/28)#. Vi havde ret! Godt arbejde.
