Hvad er en Taylor-ekspansion af e ^ (- 2x) centreret ved x = 0?

Svar:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Forklaring:

Sagen om en Taylor-serie blev udvidet #0# hedder en Maclaurin-serie. Den generelle formel for en Maclaurin-serie er:

#F (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

For at udarbejde en serie til vores funktion kan vi starte med en funktion til # E ^ x # og brug derefter det til at finde ud af en formel til #e ^ (- 2x) #.

For at konstruere Maclaurin serien må vi finde ud af det nth derivat af # E ^ x #. Hvis vi tager et par derivater, kan vi ganske hurtigt se et mønster:

#F (x) = e ^ x #

#F '(x) = e ^ x #

#F '' (x) = e ^ x #

Faktisk er det nth derivat af # E ^ x # er bare # E ^ x #. Vi kan tilslutte dette til Maclaurin-formlen:

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ OOE ^ 0 / (n!) X ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + X ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) … #

Nu hvor vi har en taylor-serie til # E ^ x #, vi kan bare erstatte alle de #x#er med # -2x # at få en serie til #e ^ (- 2x) #:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

hvilket er den serie, vi ledte efter.