Hvordan finder du den tredje graders Taylor-polynom for f (x) = ln x, centreret ved a = 2?

Svar:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Forklaring:

Den generelle form for en Taylor ekspansion centreret på #en# af en analytisk funktion # F # er #F (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (x-a) ^ n #. Her #F ^ ((n)) # er det nth derivat af # F #.

Den tredje grads Taylor-polynom er et polynom bestående af de første fire (# N # spænder fra #0# til #3#) vilkår for den fulde Taylor-ekspansion.

Derfor er dette polynom #F (a) + f '(a) (x-a) + (f' '(a)) / 2 (x-a) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (x-a) ^ 3 #.

#F (x) = ln (x) #, derfor #F '(x) = 1 / x #, #F '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #F '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Så den tredje graders Taylor-polynom er:

#ln (a) + 1 / a (x-a) -1 / (2a ^ 2) (x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Nu har vi # A = 2 #, så vi har polynomet:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Pointen (4,7) ligger på cirklen centreret ved (-3, -2), hvordan finder du ligningen i cirklen i standardform?

(x + 3) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 130> ligningen af en cirkel i standardform er: (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2 hvor , b) er centrum og r, radius I dette spørgsmål er centret givet, men kræver at finde r afstanden fra midten til et punkt på cirklen er radius. beregne r ved hjælp af farve (blå) ("distanceformel"), som er: r = sqrt ((x_2 - x_1) ^ 2 + (y_2 - y_1) ^ 2) ved brug af (x_1, y_1) = (-3,2) ) farve (sort) ("og") (x_2, y_2) = (4,7) derefter r = sqrt (4 - (- 3) ^ 2 + (7 - (-2) ^ 2)) = sqrt +81) = sqrt130 cirkelligning ved hjælp af center = (a, b) = (-3, -2), r = s

Hvad er en Taylor-ekspansion af e ^ (- 2x) centreret ved x = 0?

E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4. .. Sagen om en taylor-serie udvidet omkring 0 hedder en Maclaurin-serie. Den generelle formel for en Maclaurin-serie er: f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) X ^ n For at udarbejde en serie til vores funktion kan vi starte med en funktion til e ^ x og brug derefter det til at finde ud af en formel for e ^ (- 2x). For at konstruere Maclaurinserien skal vi finde ud af nth-derivatet af e ^ x. Hvis vi tager nogle derivater, kan vi ganske hurtigt se et mønster: f (x) = e ^ x f '(x) = e ^ x f' '(x) = e ^ x Faktisk

Hvordan finder du den generelle form for cirkel centreret ved (2,3) og tangent til x-akse?

Forstå at kontaktpunktet med x-aksen giver en lodret linje op til midten af cirklen, hvor afstanden er lig med radius. (x-2) ^ 2 + (x-3) ^ 2 = 9 (xh) ^ 2 + (xk) ^ 2 = ρ ^ 2 Tangent til x-aksen betyder: Berøring af x-aksen, så afstanden fra centrum er radius. At have afstanden fra det centrum er lig med højden (y). Derfor er ρ = 3 Cirkulationsligningen bliver: (x-2) ^ 2 + (x-3) ^ 2 = 3 ^ 2 (x-2) ^ 2 + (x-3) ^ 2 = 9