Cirkel A har et center ved (6, 5) og et område på 6 pi. Cirkel B har et center på (12, 7) og et område på 48 pi. Overlapper cirklerne?

Svar:

Siden

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # og

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

vi kan lave en ægte trekant med kvadrede sider 48, 6 og 40, så disse cirkler skærer hinanden.

Forklaring:

Hvorfor den gratis # Pi #?

Området er #A = pi r ^ 2 # så # R ^ 2 = A / pi. # Så den første cirkel har en radius # R_1 = sqrt {6} # og den anden # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Centrene er #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # en del.

Så overlapper cirklerne, hvis #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

Det er så grimt, at du ville blive tilgivet for at nå frem til regnemaskinen. Men det er virkelig ikke nødvendigt. Lad os tage en omvej og se, hvordan dette gøres ved hjælp af Rational Trigonometry. Der er vi kun bekymret for de kvadrater, der kaldes quadrances.

Lad os sige, at vi vil teste om tre quadrances # A, B, C # er kvadraterne mellem tre kollinære punkter, dvs. #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # eller #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # eller #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Vi skriver det som

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Squaring, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Squaring igen, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Det viser sig

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

er en diskriminant for trekanter. Vi viste bare, hvis #mathcal {A} = 0 # det betyder at vi har en degenereret trekant, dannet af tre collinære punkter. Hvis #mathcal {A}> 0 # så har vi en rigtig trekant, hver side mindre end summen af de to andre. Hvis #mathcal {A} <0 # vi har ikke sider, der opfylder trekantens ulighed, og vi kalder det nogle gange en imaginær trekant.

Lad os vende tilbage til vores spørgsmål bevæbnet med vores nye trekant diskriminator #mathcal {A} #. Hvis cirklerne skærer vi, kan vi lave en trekant af de to centre og et skæringspunkt, så siderne vil have længder # R_1 #, # R_2 #, og afstanden mellem centrene #(6,5)# og #(12,7)#. Vi har

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # så vi har en rigtig trekant, dvs. overlappende cirkler.

Åh ja, for enhver trekant #mathcal {A} = 16 (tekst {område}) ^ 2. #

Tjek: Alpha

Cirkel A har et center ved (12, 9) og et område på 25 pi. Cirkel B har et center ved (3, 1) og et område på 64 pi. Overlapper cirklerne?

Ja Først må vi finde afstanden mellem de to cirkels centre. Dette skyldes, at afstanden er hvor cirklerne vil være tættest sammen, så hvis de overlapper hinanden, vil det være langs denne linje. For at finde denne afstand kan vi bruge afstandsformlen: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + (9-1) ^ 2 ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~ ~ 12.04 Nu skal vi finde radius af hver cirkel. Vi ved, at en cirkels areal er pir ^ 2, så vi kan bruge det til at løse r. pi (r_1) ^ 2 = 25pi (r_1) ^ 2 = 25 r_1 = 5 pi (r_2) ^ 2 = 64pi (r_2) ^ 2 = 64 r_2 = 8 Endelig tilføjer

Cirkel A har et center på (3, 5) og et område på 78 pi. Cirkel B har et center ved (1, 2) og et område på 54 pi. Overlapper cirklerne?

Ja For det første har vi brug for afstanden mellem de to centre, som er D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 Nu har vi brug for summen af radii, da: D> (r_1 + r_2); "Cirklerne overlapper ikke" D = (r_1 + r_2); "Cirkler berører bare" D <(r_1 + r_2); "Cirkler overlapper hinanden" pir_1 "" ^ 2 = 78pi r_1 "" ^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2 "" ^ 2 = 54pi r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16,2 16,2> 3,61, så cirkler overlapper hinanden.

Cirkel A har et center ved (1, 5) og et område på 24 pi. Cirkel B har et center på (8, 4) og et område på 66 pi. Overlapper cirklerne?

Ja, cirklerne overlapper hinanden. Afstanden fra centrum af cirkel A til centrum af cirkel B = 5sqrt2 = 7.071 Summen af deres radii er = sqrt66 + sqrt24 = 13.023 Gud velsigne .... Jeg håber forklaringen er nyttig ..